Matematik

Kvadratisk approximation

06. januar 2019 af danniql - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Jeg er stødt på et lille problem i min forberedelse til eksamen i matematisk analyse.

Jeg er blevet bedt om at løse den kvadratiske approximation til ligningen:

0.5x^2 +2y^2 -4y -2x = -2

Jeg ved godt denne er implict, men jeg ved ikke hvilken rolle det spiller når jeg skal kvadartisk approximere den?

Den kvadratiske approximation jeg får er -2x + 0.5x^2 + 2(1 - 1y)^2

Mens det rigtige svar er: P_2(x)=3/2 + 1/2 x - 1/8 x^2

Hvad betyder det derudover når det kun er kvadrtisk approximation af (x) og ikke (x, y)?

Håber I kan hjælpe mig.

Vedhæftet fil: kvapp.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. januar 2019 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. januar 2019 af peter lind

Det er y som funktion af x du skal approksimere ved hjælp af Taylors formel så resultatet er

y = g(2) + g'(2)*(x-2) + g''(2)(x-2)²

Det stemmer heller ikke med hvad der står. Kan vi ikke få hele teksten i opgaven uændret. Læg den evt. i en fil og vedhæft den

Svar #3
06. januar 2019 af danniql

Hej Peter. Tak for svar. Det er faktisk hele opgaven fra en multiple choice test

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. januar 2019 af peter lind

Rettelse til #2 Det sidste led skal være g''(2)(x-2)²/2

Svar #5
06. januar 2019 af danniql

Det kan jeg fortsat ikke få til at gå op

Kan du måske vise mig regnestykket?

Brugbart svar (0)

Svar #6
06. januar 2019 af peter lind

Jeg har sagt at det ikke stemmer med resten, så det kan jeg ikke. Ifølge det du skriver er g(2) = 2. g'(2) = -1 og g''(2) =0, så der er noget galt; men jeg kan ikke vide hvad der er galt

Svar #7
06. januar 2019 af danniql

Jeg tror, at du misforstår. Ud af A, B, C, D, E er ën af mulighederne rigtige. Hvilket er D - som jeg ikke forstår

Brugbart svar (0)

Svar #8
06. januar 2019 af peter lind

Så har du jo forsåvidt svaret på spørgsmålet.

Hvis du vil regne det ud for at lære den slags så:

Jeg går ud fra, at det er rigtigt at funktionen går gennem (2, 2) for det står oven over spørgsmål A. Så er g(2) = 2. Du kan evt. regne efter.. Derefter skal du differentiere imsplicit ligningen. Hvis du sætte.r x=2 får du en ligning der indeholder g'(2). Derefter differentierer du ligningen igen og på samme måde finder du g''(2)

Brugbart svar (1)

Svar #9
06. januar 2019 af swpply (Slettet)

$\begin{align*} \frac{1}{2}x^2 + 2y^2 - 4y -2x = -2 \quad&\Leftrightarrow\quad (x-2)^2 + 4(y-1)^2 = 4, &&\text{Ligning for ellipse} \\ &\Rightarrow\quad x-2 + 4(y-1)y^\prime = 0, &&\text{Implicit differentiation foerste gang}\\ &\Rightarrow\quad 1 + 4(y^\prime)^2 +4(y-1)y^{\prime\prime} = 0, &&\text{Implicit differentiation anden gang} \end{align*}$ Du har dermed at

$\begin{align*} 2-2 + 4(y(2)-1)y^\prime(2) = 0 \quad\Rightarrow\quad y^\prime(2) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} 1 + 4(y^\prime(2))^2 + 4(y(2)-1)y^{\prime\prime}(2) = 0 \quad\Rightarrow\quad y^{\prime\prime}(2) = -\frac{1}{4} \end{align*}$

Hvorfor at Taylor udviklingen af g(x) omkring x = 2 bliver

$\begin{align*} g(x) &= g(2) + g^\prime(2)\cdot(x-2) + \frac{1}{2}g^{\prime\prime}(2)\cdot(x-2)^2 + \ldots \\ &= 2 - \frac{1}{8}(x-2)^2 + \ldots \\ &= 2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \ldots \\ &= \frac{3}{2} + \frac{1}{2}x -\frac{1}{8}x^2 + \ldots \end{align*}$

altså kan du slutte at den kvadratiske approximation til g(x) omkring punktet (x,y) = (2,2) er givet ved

$P_2(x)= \frac{3}{2} + \frac{1}{2}x -\frac{1}{8}x^2$

Brugbart svar (0)

Svar #10
06. januar 2019 af swpply (Slettet)

For at opsumere har du at (med undtagelse af at g(x) selvfølgelig ikke er en funktion):

a) sand
b) falsk
c) falsk
d) sand
e) sand

Brugbart svar (0)

Svar #11
07. januar 2019 af swpply (Slettet)

Hov, ignorere mit svar i #10. Det er korrekte at det kun er svarmulighed d) der er sand, idet at g(x) kun er givet implicit ved ligningen for en ellipse i omegnen af punktet (2,2). Denne vigtige detalje havde jeg overset ved første gennemlæsning af opgaveformuleringen ;o)

Svar #12
07. januar 2019 af danniql

Tusind tak for hjælpen - det hjalp rigtig meget!

Skriv et svar til: Kvadratisk approximation

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.