Matematik

Bestem en lineær funktion til en differentiel ligning.

07. januar 2019 af xamza1608 - Niveau: A-niveau

Differentiel ligningen: $y'=2y+4x$ ?

Skal der findes en løsning til som er lineær funktion. Har siddet med den i en halv time og er gået i stå.

Håber nogen kan hjælpe.

havde gættet på at indsætte det i f(x)=ax+b men endte ikke med noget som jeg kunne bruge.

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. januar 2019 af mathon

Brug panserformlen
på
$\small y{\, }'+(-2)y=4x$

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. januar 2019 af peter lind

Hvorfor kan dog ikke bruge det ?

Hvis du sætter ind får du

a = 2ax+2b + 4x

Dermed får du 2a+4 = 0 og a = 2b

Svar #3
07. januar 2019 af xamza1608

#2
Hvorfor kan dog ikke bruge det ?

Hvis du sætter ind får du

a = 2ax+2b + 4x

Dermed får du 2a+4 = 0 og a = 2b

a = 2ax+2b + 4x

Jeg fik også dette men den skulle jo have formed ax+b? Kan ikke se hvordan og hvorfor du får ?

2a+4 = 0 og a = 2b

Hvorfor 2 funktioner??

Brugbart svar (1)

Svar #4
07. januar 2019 af oppenede

Opgaven siger at for alle x gælder
$y'(x)=2y(x)+4x$

samt at y er linæer, dvs. y's forskrift kan skrives på formen:
$y(x)=ax+b$

Bestemmelse af a og b:

Når forskriften for y indsættes i ligningen bliver det
$a=2(ax+b)+4x$
Gang ud og saml alt på en side:
$0=2ax+2b+4x-a$
Da højresiden skal give 0 for alle x, så må 2b-a være 0, og 2a+4 må også være 0.
Det er måske nemmere at se hvis x sættes uden for en parentes:
$0=(2a+4)x+(2b-a)$

Hvis den sidste parentes ikke giver 0, så er højresiden forskellig fra 0 ved x=0, da det første led går ud.
Hvis den første parentes ikke giver 0, så har højresiden hældning, og er derfor umuligt 0 i alle x.

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. januar 2019 af mathon

Ved brug af panserformlen
fås:
$\small y=Ce^{-2x} -2x-1$
som for
C = 0
giver:
$\small y= -2x-1$

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. januar 2019 af mathon

detaljer:

$\small y{\, }'+(-2)y=4x$

$\small y=e^{2x}\cdot \int 4xe^{-2x}\mathrm{d}x=4e^{2x}\cdot \int xe^{-2x}\mathrm{d}x$

hvor
$\small \int xe^{-2x}\mathrm{d}x=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}x-\left ( -\tfrac{1}{2} \right )\int e^{-2x}\cdot 1\mathrm{d}x=-\tfrac{1}{2}xe^{-2x}-\left ( -\tfrac{1}{2} \right )^2e^{-2x}+C_1=$

$\small -\tfrac{1}{2}xe^{-2x}- \tfrac{1}{4} e^{-2x}+C_1\qquad \textup{som indsat i }4e^{2x}\cdot \int xe^{-2x}\mathrm{d}x$

$\small \textup{ giver:}$
$\small 4e^{2x}\cdot \left (-\tfrac{1}{2}xe^{-2x}- \tfrac{1}{4} e^{-2x}+C_1 \right )=Ce^{2x}-2x-1$

Skriv et svar til: Bestem en lineær funktion til en differentiel ligning.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.