Matematik

Indre punkt.

10. januar 2019 af kinke123 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude.

Jeg er blevet stillet denne opgave, og jeg er en smule i tvivl om hvordan jeg lige skal gribe det an matematisk.

Jeg er blevet givet denne funktion

f(x,y)=2xy-2x-2y+2

og denne mængde:

D={(x,y) $\epsilon$ R² : 0 $\leq$ y $\leq$ 4-3x²}

Første spørgsmål.

Der er to randpunkter for D hvis første koordinat er 0. Det ene er (0,0). Find det andet og lad (0,y1) være dette. - Angiv y1

Jeg har angivet y1 = 4

Spørgsmål to:

Kun et af følgende punkter (x,y) er ikke et indre punkt for D. Hvilket?

(x,y) = (1/2,1/3)

(x,y) = (1,1/2)

(x,y) = (1/2,1/2)

(x,y) = (1,1)

(x,y) = (1/2,1)

(x,y) = (0,2)

(x,y) = (0,3)

Jeg tænker at det man skal, er at finde ud af om disse punkter ligger indenfor den graf som bliver tegnet indenfor definitionsmængden af funktionen. Jeg har fundet ud af at x går på intervallet fra

[-2/ sqrt(3)] til [2/sqrt3]

Altså må punktet ikke være "udenfor" definitionsmængden. Hvordan bærer jeg mig ad med at analysere de enkelte punkter?'

På forhånd tak!

Brugbart svar (1)

Svar #1
10. januar 2019 af swpply (Slettet)

Opgave 1)
Det er korrekt!

Opgave 2)
Det er ikke tilstrækeligt! Du har at der skal gælde at punktet (x,y) er et indre punkt dersom at

$\vert x\vert < \frac{2}{\sqrt{3}}\quad\underline{\text{og}}\quad 0\leq y\leq4-3x^2$

Hint, overvej om punktet (1,1) er et randpunkt og dermed ikke et indrepunkt.

Svar #2
10. januar 2019 af kinke123 (Slettet)

Okay, så y skal altså være mindre end eller lig med 4-3*(2/sqrt(3))^2 = 0

Dette resultat forstår jeg ikke, for så skal værdien for y være mindre eller lig med 0 så er der ingen punkter som er indenfor mængden?

sqrt(3) < 2 derfor må 2/sqrt(3) være større end 1. altså alle x-værdier som er mindre end og inklusiv 1 er indenfor definitionsmængden

I punktet (1,1):

For x:

sqrt(3) < 2 derfor må 2/sqrt(3) være større end 1 - Derfor er x-værdien indenfor definitionsmængden

For y:

4-3*(1)^2 = 1 Altså da dette punkt er større end 0 er det ikke i definitionsmængden??

Svar #3
10. januar 2019 af kinke123 (Slettet)

Vent lige.

Jeg sætter

y=4-3*(1)^2 = 1, altså vil punktet (1,1) ligge lige præcis på kanten af funktionen 4-3x^2. Er det rigtigt forstået, og dermed vil det altså være et randpunkt og ikke et indre punkt?

Brugbart svar (1)

Svar #4
10. januar 2019 af oppenede

(1,1) er ikke et indre punkt fordi hvis du ændrer (1,1) til (1,1+ε) hvor ε>0, så er du ikke længere i D uanset hvor lille ε vælges.

For alle de andre punkter bliver uligheden ved med at gælde selv om man erstatter (x, y) med
(x + ε·cos(θ), y + ε·sin(θ)) uanset hvilken retning θ der afviges i, hvis bare ε>0 er tilstrækkelig lille (et og samme lille ε skal virke for alle θ).

Brugbart svar (1)

Svar #5
10. januar 2019 af swpply (Slettet)

#3
Vent lige.

Jeg sætter

y=4-3*(1)^2 = 1, altså vil punktet (1,1) ligge lige præcis på kanten af funktionen 4-3x^2. Er det rigtigt forstået, og dermed vil det altså være et randpunkt og ikke et indre punkt?

Ja, du kan som oppenede gør det i #4 vise at (1,1) er et randpunkt. Hvorfor at (1,1) ikke er et indrepunkt.

Svar #6
10. januar 2019 af kinke123 (Slettet)

Mange tak for hjælpen!

Skriv et svar til: Indre punkt.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.