Matematik

Gram Schmidt proceduren

14. januar 2019 af YesMe - Niveau: Universitet/Videregående

Udvidelse til tråden. Jeg skal finde en orthonormal basis for U = span{f₁, f₂, f₃, f₄}. Jeg tænker på at benytte Gram-Schmidt proceduren. I den forrige tråd har man fundet frem til, at ||f_n|| = 1/(n + 1)^1/2. Jeg skal først vise, at sættet {f₁, f₂, f₃, f₄} er lineært uafhængig, før jeg kan bruge proceduren. Lad a₁, a₂, a₃, a₄ være skalarer, og antag at ∑i a_if_i = 0. Hvordan medfører det direkte, at a_i = 0 for alle i?

Brugbart svar (3)

Svar #1
14. januar 2019 af peter lind

Den forstår jeg ikke. Normalt starter man bare med basisvektorene (1, 0 , 0, 0), (0, 1 , 0, 0), (0, 0 , 1, 0) og

(0, 0 , 0, 1) og så leverer gram-schmidt proceduren automatisk ortogonale vektorer

Brugbart svar (2)

Svar #2
14. januar 2019 af oppenede

Du skal bare bruge gram-schmidt uden at checke uafhængighed.

Hvis der er afhængighed får du bare et eller flere 0-elementer,
som skal ekskluderes før du kan kalde resultatet en basis.

Svar #3
15. januar 2019 af YesMe

Okay, jeg vil først prøve bestemme en orthogonal basis {g₁,g₂,g₃,g₄} for udspændingen. Kan I bekræfte om jeg gør det rigtigt? Jeg har g₁ = f₁,

g₂ = f₂ - Proj _{g_1} f₂,

g₃ = f₃ - Proj _{g_1} f₃ - Proj _{g_2} f₃

g₄ = f₄ - Proj _{g_1} f₄ - Proj _{g_2} f₄ - Proj _{g_3} f₄.

Men Proj _{g_i} f_j er lig med f_j, så får man

g₁ = f₁, g₂ = 0, g₃ = -f₃ og g₄ = -2f₄. Er det rigtigt?

PS: Synes det er underligt, at man kan arbejde med sådan en opgave, når f₁, f₂, f₃ og f₄ ikke er nogle vektorer. Hvordan kan det være? Må man gerne lade som om et tal er en vektor?

Svar #4
15. januar 2019 af YesMe

Hvis det jeg skrev i #3 er forkert, kunne I vise mig hvordan man bestemmer g_i rigtigt?

Brugbart svar (1)

Svar #5
15. januar 2019 af oppenede

Du siger du skal finde en orthonormal basis, så du skal starte med g₁ = f₁/||f₁||,
og det du har skrevet for de resterende er kun tælleren ad den brøk fra dit link i #0.

Jeg får det til

#3: f₁, f₂, f₃, f₄ er vektorer i den forstand at de er elementer af et vektorrum. Et tal kan godt være en vektor i den forstand, men i dette tilfælde er der ikke tale om tal, men om funktioner.

Svar #6
15. januar 2019 af YesMe

#5 Okay, tak. Jeg prøver at bestemme g₂. Men mit forsøg stemmer ikke overens med dit resultat. Her er hvad jeg gjorde

$g_2=\frac{f_2 - \left \langle f_2,g_1 \right \rangle g_1}{\left \| f_2 - \left \langle f_2,g_1 \right \rangle g_1 \right \|}=\frac{f_2 - 2\left \langle f_2,f_1 \right \rangle f_1}{\left \| f_2 -2 \left \langle f_2,f_1 \right \rangle f_1 \right \|}$

Her er <f₂,f₁> = 2/5, så tælleren er lig med f₂ - (4/5)f₁. Jeg ved ikke om det kan reduceres yderligere. Når jeg bestemmer normen af den, ser jeg, at

$\left \| f_2-\frac{4}{5}f_1 \right \|^2=\left \langle f_2-\frac{4}{5}f_1,f_2-\frac{4}{5}f_1 \right \rangle=\left \langle f_2-\frac{4}{5}f_1,f_2 \right \rangle-\frac{4}{5}\left \langle f_2-\frac{4}{5}f_1,f_1 \right \rangle$

$\left \langle f_2-\frac{4}{5}f_1,f_2 \right \rangle=\left \langle f_2,f_2 \right \rangle-\frac{4}{5}\left \langle f_1,f_2 \right \rangle=-\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{5}=-\frac{8}{5}$

$\left \langle f_2-\frac{4}{5}f_1,f_1 \right \rangle=\left \langle f_2,f_1 \right \rangle-\frac{4}{5}\left \langle f_1,f_1 \right \rangle=\frac{2}{5}$

så bliver

$\left \| f_2-\frac{4}{5}f_1 \right \|^2=-\frac{8}{5}-\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{5}=-\frac{16}{5}$

Er det så ikke sandt, at

$\left \| f_2-\frac{4}{5}f_1 \right \|=i\sqrt{\frac{16}{5}}=i\frac{4}{\sqrt{5}}$ ?

Brugbart svar (1)

Svar #7
15. januar 2019 af oppenede

#6
$g_2=\frac{f_2 - \left \langle f_2,g_1 \right \rangle g_1}{\left \| f_2 - \left \langle f_2,g_1 \right \rangle g_1 \right \|}=\frac{f_2 - 2\left \langle f_2,f_1 \right \rangle f_1}{\left \| f_2 -2 \left \langle f_2,f_1 \right \rangle f_1 \right \|}$

Her er <f₂, f₁> = 2/5,

g₁ og f₁ er ikke det samme, da nævneren for g₁ ikke giver 1:
$g_1=\frac{f_1}{||f_1||}=\frac{f_1}{\langle f_1,f_1\rangle^{1/2}}=\sqrt{2}f_1$

da
$\\\langle f_1,f_1\rangle^{1/2}=\sqrt{\int_{-1}^1\overline{f_1(x)}f_1(x)dx}= \sqrt{\int_{-1}^1\overline{x^{3/2}}x^{3/2}dx} =\sqrt{\int_{-1}^1|x^3|dx} \\=\sqrt{2\int_0^1x^3dx}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Jeg får ikke <f₂, f₁> = 2/5:
$\\\langle f_2,f_1\rangle^{1/2}=\sqrt{\int_{-1}^1\overline{f_2(x)}f_1(x)dx}= \sqrt{\int_{-1}^1\overline{x^{5/2}}x^{3/2}dx} \\=\sqrt{\int_{-1}^1x\overline{x^{3/2}}x^{3/2}dx} =\sqrt{\int_{-1}^1x|x^3|dx}=0$
som er 0 da integranden er en ulige funktion, og grænserne er symmetriske om x=0.

Svar #8
15. januar 2019 af YesMe

#7 Jeg mente heller ikke, at de er det samme. Jeg sætter ind hvad g₁ står for,

<f₂,g₁> g₁ = <f₂, √2 f₁> √2 f₁ = √2 <f₂, f₁> √2 f₁ = 2 <f₂, f₁> f₁ = 2(2/5) f₁ = 4/5 f₁.

Edit: Hvis du prøver kigge på den tidligere tråd (#3), har man <f_n, f_m> = 2/(n + m + 2) når n + m er ulige, og <f_n, f_m> = 0 når n + m er lige. Da 2 + 1 er ulige, må <f₂, f₁> = 2/(3 + 2) = 2/5.

Brugbart svar (1)

Svar #9
15. januar 2019 af oppenede

#8 Der er noget galt i det svar:
$\begin{align*} \langle f_n,f_m\rangle &= \int_{-1}^1 {\color{red}x^{n+m+1}}dx \\ &= \frac{1{\color{green}+}(-1)^{m+n}}{m+n+2}\\ &= \left\lbrace\begin{aligned}&0, &&\text{if }m+n\text{ is {\color{green} odd}} \\ &\frac{2}{m+n+2},&&\text{if }m+n\text{ is {\color{green} even}} \end{aligned}\right. \end{align*}$
Grøn er rettelser, og det røde mangler at blive fortegnsjusteret i forhold til om x er større eller mindre end 0.

Svar #10
15. januar 2019 af YesMe

#9 Takker dig mange gange for din tid. Har endelig fået de samme resultater som du bestemte!

Skriv et svar til: Gram Schmidt proceduren

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.