Matematik

Bestemmelse af indre produkt og konvergens i Hilbert rum

11. januar 2019 af YesMe - Niveau: Universitet/Videregående

Lad H være Hilbertrummet L₂([-1,1]) med standard indre produkt

$\left \langle f,g \right \rangle=\int_{-1}^{1}\overline{f(x)}g(x)\,\mathrm{d}x$

Definer følgen af komplekse funktioner (f_n) ved f_n(x) = x^{n + 1/2} for n ≥1 og x ∈ [-1,1].

1) Vis at f_n tilhører H, og at for |a| < 1, konvergerer rækken Σ_n>=1 a_nf_n i H.

2) Bestem $\left \langle f_n,f_m \right \rangle$ for alle n, m.

Mine svar:

1) Da

$\int_{-1}^{1}\left | f_n(x) \right |^2\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{1}x^{2n+1}\,\mathrm{d}x=0<\infty$

må f_n tilhøre H. Her er a_nf_n(x) = x^1/2 (ax)ⁿ, og så arbejder man det som en geometrisk række, får man summen $\frac{ax^{3/2}}{1-ax}$ for x i [-1, 1]. Kald denne sum for f(x). At den række er konvergent i H, forstår jeg det som, at f tilhører H, som jeg mangler at vise. Men jeg kan ikke komme videre med det følgende integral

$\int_{-1}^{1}\left | \frac{ax^{3/2}}{1-ax} \right |^2\,\mathrm{d}x=|a|^2\int_{-1}^{1}\frac{|x^{3}|}{\left | 1-ax \right |^2}\,\mathrm{d}x$

for at vise, at den er <∞. Kan i hjælpe mig?

2) Jeg kan se, at

$\left \langle f_n,f_m \right \rangle=\int_{-1}^{1}\overline{f_n(x)}f_m(x)\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{1}x^{n+m+1}\,\mathrm{d}x.$

Da n, m er naturlige tal, må n + m + 1 ≥ 3, og så får man

$\int_{-1}^{1}x^{n+m+1}\,\mathrm{d}x=\left [ \frac{x^{n+m+2}}{m+n+2} \right ]_{-1}^{1}$

Hvordan kommer man videre, da (-1)^n+m+2 driller mig. Hvis n+m+2 er lige, bliver det til 1, og hvis ulige, bliver det til -1.

Brugbart svar (1)

Svar #1
11. januar 2019 af oppenede

$\int_{-1}^{1}|f_n(x)|^2dx= \int_{-1}^{1}|x|^{2n+1}dx=\int_{0}^{1}x^{2n+1}dx+\int_{-1}^{0}(-x)^{2n+1}dx=\frac{1}{1 + n}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
11. januar 2019 af swpply (Slettet)

$\begin{align*} \int_{-1}^1\bigg\vert\frac{ax^\frac{3}{2}}{1-ax}\bigg\vert^2dx &= a^2\int_{-1}^1\frac{\vert x\vert^3}{(1-ax)^2}dx \\ &\leq a^2\int_{-1}^1\vert x\vert^3 \\ &= \frac{a^2}{2} \\ &< \infty\end{align*}$

hvor den første ulighed følger ved at

$\begin{align*} \vert x\vert\leq1 \quad&\Leftrightarrow\quad \vert x\vert^3\leq1 \\ \quad&\Leftrightarrow\quad \frac{\vert x\vert^3}{(1-ax)^2}\leq \frac{1}{(1-ax)^2} \end{align*}$

og den sidste ulighed følger ved at $\vert a\vert < 1$ .

Brugbart svar (1)

Svar #3
11. januar 2019 af swpply (Slettet)

Opgave 2)
$\begin{align*} \langle f_n,f_m\rangle &= \int_{-1}^1 x^{n+m+1}dx \\ &= \frac{1-(-1)^{m+n}}{m+n+2}\\ &= \left\lbrace\begin{aligned}&0, &&\text{if }m+n\text{ is even} \\ &\frac{2}{m+n+2},&&\text{if }m+n\text{ is odd} \end{aligned}\right. \end{align*}$

for $n,m\in\mathbb{N}$ . Du kan (selom det ikke er nødvendigt) yderligere specifere resultatet ved at bruge at summen af to naturlige tal (n og m) er lige hvis og kun hvis enten både m og n er lige er eller både m og n er ulige. Ligeledes har du at m+n er ulige hvis og kun hvis enten m er lige og n er ulige eller m er ulige og n er lige.

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. januar 2019 af oppenede

Hov, troede jeg skrev i https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1874980...

Der er noget galt i det svar:
$\begin{align*} \langle f_n,f_m\rangle &= \int_{-1}^1 {\color{red}x^{n+m+1}}dx \\ &= \frac{1{\color{green}+}(-1)^{m+n}}{m+n+2}\\ &= \left\lbrace\begin{aligned}&0, &&\text{if }m+n\text{ is {\color{green} odd}} \\ &\frac{2}{m+n+2},&&\text{if }m+n\text{ is {\color{green} even}} \end{aligned}\right. \end{align*}$
Grøn er rettelser, og det røde mangler at blive fortegnsjusteret i forhold til om x er større eller mindre end 0.

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. januar 2019 af swpply (Slettet)

Hvad snakker du om? Du skal ikke fortegnsjustere noget m.h.t. x. Du har at

$\begin{align*} \langle f_n,f_m\rangle &= \big\langle x^{n+\frac{1}{2}},x^{m+\frac{1}{2}}\big\rangle \\ &= \int_{-1}^1 \overline{x^{n+\frac{1}{2}}}x^{m+\frac{1}{2}}\,dx \\ &= \int_{-1}^1x^{n+\frac{1}{2}}x^{m+\frac{1}{2}}\,dx\\ &= \int_{-1}^1 x^{n+m+1}\,dx \\ &= \bigg[\frac{x^{n+m+2}}{n+m+2}\bigg]_{-1}^1 \\ &= \frac{1^{n+m+2} - (-1)^{n+m+2}}{n+m+2} \\ &= \frac{1-(-1)^{n+m}(-1)^2}{n+m+2} \\ &= \frac{1-(-1)^{n+m}}{n+m+2} \end{align*}$

Alså er svaret i #3 korrekt!

Brugbart svar (1)

Svar #6
22. januar 2019 af oppenede

$\begin{align*} &= \int_{-1}^1 \overline{x^{n+\frac{1}{2}}}x^{m+\frac{1}{2}}\,dx \\ &= \int_{-1}^1x^{n+\frac{1}{2}}x^{m+\frac{1}{2}}\,dx\\ &= \int_{-1}^1 x^{n+m+1}\,dx\end{align*}$

Den del fatter jeg så bare ikke. Hvis x er positiv så passer det, men for negative x så bliver det da

$\\\overline{x^{n+\frac{1}{2}}}x^{m+\frac{1}{2}}= \overline{e^{\ln(x)\left(n+\frac{1}{2}\right)}}e^{\ln(x)\left(m+\frac{1}{2}\right)}= \\[0.28cm] \overline{e^{(\pi i+\ln(-x))\left(n+\frac{1}{2}\right)}}e^{(\pi i+\ln(-x))\left(m+\frac{1}{2}\right)}= \\[0.28cm] e^{(-\pi i+\ln(-x))\left(n+\frac{1}{2}\right)}e^{(\pi i+\ln(-x))\left(m+\frac{1}{2}\right)}= \\[0.28cm] e^{(m+n+1) \ln(-x)+i \pi (m-n)}=e^{(m+n+1) \ln(-x)+i \pi (m-n)}= \\[0.28cm] (-x)^{m+n+1}(-1)^{m - n}=-x^{m+n+1}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. januar 2019 af AskTheAfghan

Antag uden tab af generalitet at n ≥ m. Så n = m + k for et ikke-negativt heltal k. Hvis jeg ikke tager fejl, har man

$\overline{x^{n+1/2}}x^{m+1/2}=\overline{x^kx^{m+1/2}}x^{m+1/2}=\overline{x^k}\left | x^{m+1/2} \right |^2=\overline{x^{n-m}}\left | x^{(2m+1)/2} \right |^2=x^{n-m}\left | x^{2m+1} \right |$

Brugbart svar (0)

Svar #8
22. januar 2019 af swpply (Slettet)

#6 Det er korrekt, jeg ved ikke hvad jeg tænkte på.

Skriv et svar til: Bestemmelse af indre produkt og konvergens i Hilbert rum

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.