Matematik

find værdien af det bestemte integral

18. januar 2019 af Line19010 - Niveau: Universitet/Videregående

vedlægger spørgsmålet som en fil.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2019-01-18 kl. 21.02.01.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. januar 2019 af SuneChr

Benyt substitutionen
t = 1 - x²
dt = - 2xdx

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. januar 2019 af oppenede

Du behøver ikke at integrere, men bare tænke i fortolkning:

y = √(1 - x²) svarer til en cirkelbue fra (0, 1) til (1, 0) med centrum (0, 0).

Integralet tager et vægtet gennemsnit af x-værdierne fra 0 til 1 med cirkelbuens y-værdi som vægt, dvs. vægten er ubetinget størst for lave x-værdier, og resultatet er derfor mindre end ½ gange arealet under cirkelbuen, dvs mindre end ½ · π/4 = π/8 som er mindre end ½.

Kun svarmuligheden med 1/3 er mindre end ½.

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. januar 2019 af mathon

...men hvis du helst tænker integration:

$\small t=1-x^2\textup{ og dermed }-\tfrac{1}{2}\mathrm{d}t=x\mathrm{d}x\textup{ og }\int_{0}^{1}...\mathrm{d}x\; \rightarrow \int_{1}^{0}...\mathrm{d}t$

$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\, x\mathrm{d}x=-\tfrac{1}{2}\cdot \int_{1}^{0}\sqrt{t}\, \mathrm{d}t=\tfrac{1}{2}\cdot \int_{0}^{1}\sqrt{t}\, \mathrm{d}t=\tfrac{1}{2}\cdot \left [\tfrac{2}{3}\cdot t\cdot \sqrt{t} \right ]_{0}^{1}=$

$\small \tfrac{1}{2}\cdot \left ( \tfrac{2}{3}\cdot 1\cdot \sqrt{1}- \tfrac{2}{3}\cdot 0\cdot \sqrt{0}\right )=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}$

Skriv et svar til: find værdien af det bestemte integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.