Matematik

Hjælp til cirkelligning, tangent osv

20. januar 2019 af WhatTheFu - Niveau: A-niveau

Hej alle! jeg sidder med en svær opgave, og har forsøgt mig frem i første omgang - har inkluderet mine beregninger. Ved ikke om de er korrekte men tror ikke

To linjer l og m er givet ved ligningerne l : y = 3/4 * x + 9/2 m : y = 3x+1

a) Bestem den spidse vinkel mellem l og m

anvender: tan v = | a1*b2 - a2 * b1 | / (a1*a2 + b*1 b*2)

tan v | 0,75 * 1 - 4,5 *3 | / 0,75 * 4,5 + 3*1 |

tan v^-1 (2)

vinkel = 63,43 grader

En cirkel har centrum i punktet (1,-1) og har linjen l som tangent.

b) Bestem en ligning for cirklen.

r = dist(C) = | a*x0 + b * y0 + c | / (√a²+b²)

r = 0,75 * 1 + 1 * (-1) + 4,5 / ( √ 0,75²+1¹)

r = 3,4

Dvs ligningen er: (x-1)² - (y + 1)²= 3,4²

c) Bestem koordinatsættene for hvert af skæringspunkterne mellem cirklen og linjen

Denne opgave kan jeg slet ikke finde ud af

Brugbart svar (1)

Svar #1
20. januar 2019 af peter lind

b) Du runder for meget af og der skal være + mellem de to kvadratled

c) Det er formodenlig linjen m, der er tale om. Sæt 3x+1 ind på y's plads y i cirklens ligning. Resultatet er en andengrads ligning i x, Løs den

Brugbart svar (1)

Svar #2
20. januar 2019 af StoreNord

a)
$Vinkel \; v=-\arctan (3)-\arctan \left ( \frac{3}{4} \right )=71.57-36.97=34.6\degree$

Brugbart svar (1)

Svar #3
21. januar 2019 af ringstedLC

a) Linjerne omskrives for at finde den spidse vinkel:

$\begin{align*} l:y &= 0.75x+4.5\Leftrightarrow 0.75x-y+4.5=0 \\ &3x-4y+18 = 0\Rightarrow \overrightarrow{n_l}=\binom{3}{-4} \\ m:y &= 3x+1\Leftrightarrow 3x-y+1=0 \Rightarrow \overrightarrow{n_m}=\binom{3}{-1} \\ \cos(v_{spids}) &= \frac{\left | \overrightarrow{n_l}\cdot \overrightarrow{n_m} \right |} {\left | \overrightarrow{n_l} \right |\cdot \left | \overrightarrow{n_m} \right |} =\frac{\left | 3\cdot 3+(-4)\cdot (-1) \right |}{\sqrt{3^2+(-4)^2}\cdot \sqrt{3^2+(-1)^2}} =0.8222 \\ v_{spids} &= 34.7^{\circ} \end{align*}$

b) Cirklens ligning:

$\begin{align*} r &= dist_{l,\;C}= \frac{\left | 3\cdot 1+(-4)\cdot (-1)+18 \right |} {\left | \overrightarrow{n_l} \right |} \\ r &= \frac{11.5}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=5 \\ &(x-1)^2+(y+1)^2 = 5^2 \end{align*}$

c) m og cirklens skæringspunkter:

$\begin{align*} (x-1)^2+(y+1)^2 &= 5^2 \\ (x-1)^2+\left((3x+1)+1\right)^2 &= 5^2 \\ x^2+1-2x+9x^2+4+12x &= 5^2 \\ 10x^2+10x-20 &= 0 \\ x^2+x-2 &= 0 \\ x &= \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1} \\ x=1&\vee x=-2 \\ y = 3\cdot 1+1=4&\Rightarrow (1,4) \\ y = 3\cdot (-2)+1=-5&\Rightarrow (-2,-5) \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
21. januar 2019 af mathon

spids vinkel mellme linjerne:

$\small \small \delta_{spids} =\tan^{-1}\left ( \frac{\left | \tfrac{3}{4}-3 \right |}{\left | 1+\tfrac{3}{4}\cdot 3 \right |} \right )=\tan^{-1}\left (\frac{\left |-\tfrac{9}{4} \right |}{\left | \tfrac{13}{4} \right |}\right)=\tan^{-1}\left ( \frac{9}{13} \right )=34.7\degree$

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. januar 2019 af mathon

c) Det er linjen l, der er tale om.

Brugbart svar (1)

Svar #6
21. januar 2019 af mathon

c)
Beregning af røringspunkt R:

Centrum $C(1,-1)$ ligger i l's positive halvplan regnet i forhold til normalvektor $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 3\\-4 \end{pmatrix}$

hvoraf:
$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OC}-\frac{r}{\left | \overrightarrow{n} \right |}\cdot \overrightarrow{n}\qquad\textup{retningen fra C til R er negativ i forhold til }\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 3\\-4 \end{pmatrix}$

$\small \overrightarrow{OR}=\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}-\frac{5}{5}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}$

Et punkt og dets stedvektor har samme koordinater
hvoraf:
$\small R=(-2,3)$

Svar #7
21. januar 2019 af WhatTheFu

Mange tak for svaret, det er virkelig til en hjælp - jeg har dog et spørgsmål, hvordan får du ligningen til 3x-4y+18=0? Er det en reduktion eller hvad er det? Kan slet ikke gennemskue det

Brugbart svar (1)

Svar #8
21. januar 2019 af mathon

...(nu går det vist for hurtigt) - genlæs #3's to første linjer.

Brugbart svar (1)

Svar #9
21. januar 2019 af mathon

...der multipliceres med 4 på begge sider af lighedstegnet og reduceres efterfølgende til formen

$ax+by+c=0$

Svar #10
21. januar 2019 af WhatTheFu

#9
...der multipliceres med 4 på begge sider af lighedstegnet og reduceres efterfølgende til formen

$ax+by+c=0$

Mange tak for svaret! vil du gerne forklare mig hvorfor der ganges ind med 4? Hvor kommer dette tal fra?

Brugbart svar (1)

Svar #11
21. januar 2019 af mathon

$\small \small \begin{array}{ll} \small y=\tfrac{3}{4}x+\tfrac{9}{2}&\textup{n\ae vnerne \o ønskes elimineret, hvilket opn\aa s ved multiplikation med 4}\\\\ 4y=3x+18&\textup{linjen \o ønskes p\aa \ formen ax+by+c=0, hvorfor}\\\\ 3x-4y+18=0 \end{array}$ $\small \begin{array}{ll} \end{array}$

Skriv et svar til: Hjælp til cirkelligning, tangent osv

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.