Matematik

Lidt om Hilbet rum, normalisering, orthonormal

25. januar 2019 af YesMe - Niveau: Universitet/Videregående

Til a), ved jeg, at

$\overline{f_0(x)}f_1(x)=(1-i)e^{-i\pi x}e^{2i\pi x}=(1-i)e^{i\pi x}$

og integralet af exp(iπx) mht. x fra -1 til 1 er 0, så <f₀,f₁> = 0, dvs. f₀ og f₁ er ortogonale i L₂. Hvad gør jeg resten af a)?`Kan nogle forklare hvad jeg gør i b)?

Vedhæftet fil: p3s1.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. januar 2019 af peter lind

Brugbart svar (1)

Svar #2
25. januar 2019 af peter lind

Beregn ∫₀¹|Φi|²dx for i 0 eller 1

Beregn ∫_-1¹x|Φi|²dx for i 0 eller 1

Svar #3
25. januar 2019 af YesMe

Drejer det sig om opgave b)? Hvordan er det lige jeg finder Φ₀ og Φ₁ i a)?

Brugbart svar (1)

Svar #4
25. januar 2019 af peter lind

Ja det drejer sig om b

Φ_i = f_i/kvrod(∫|f_i|²dx)

Svar #5
26. januar 2019 af YesMe

Kan du bekræfte, at vi får ||f₀|| = 2 og ||f₁|| = √2, så Φ₀ = f₀/2 og Φ₁ = f₁/√2?

Ang. #2, er den første linje fortolket af "the probability to find the particle to the right of the origin", og den anden af "the expectation value of a position measurement"?

Brugbart svar (1)

Svar #6
26. januar 2019 af peter lind

Du har misforstået det. Du skal bestemme konstanten så ∫_-1¹|Φ_i|²dx = 1

Brugbart svar (1)

Svar #7
26. januar 2019 af peter lind

ang #2 Ja

Svar #8
26. januar 2019 af YesMe

Jeg vil vise dig hvad jeg gjorde, vi tager først Φ₀. Da f₀(x) = (1 + i)exp(iπx), får man |f₀(x)| = √2, så |f₀(x)|² = 2. Derfor er _-1∫¹|f₀(x)|² dx = 4, så Φ₀ = f₀/√4 = f₀/2. Er det stadig forkert?

Brugbart svar (1)

Svar #9
26. januar 2019 af peter lind

Undskyld Jeg har byttet om på f1 og f2

Svar #10
26. januar 2019 af YesMe

Det gør ikke noget. Så, de resultater må være rigtige? Kan du hjælpe med de andre følgende opgaver?

I c), bestemmer jeg vel, at _-1∫¹|Ψ(x)|² dx, og så konkludere, at den er lig med 1, hvis |α|² + |β|² = 1. Men jeg har ret svært ved at bestemme modulus af Ψ(x), dvs. |Ψ(x)|. Her er Ψ(x) = (α/2) f₀(x) + (β/√2) f₁(x), hvis jeg beregnede Φ_i rigtigt.

Vedhæftet fil:p3s1b.png

Brugbart svar (1)

Svar #11
26. januar 2019 af peter lind

Det behøver du ikke. Du skal bare benytte at de er ortogonale

∫_-1¹|aΦ₀ + bΦ₁|²dx = |_-1¹|a|²|Φ₀|² + aCbΦ₀CΦ₁ + CabCΦ₀Φ₁ + |b|₂|Φ₁|² dx = ∫_-1¹|a|²|Φ₀|² + |b|²|Φ₁|² dx = |a|²+|b|² = 1

Jeg har indført C som betyder at den næste faktor er den komplex konjugerede

Efter det første lighedstegn. De to midterste bliver 0 da Φ'erne er ortogonale

Svar #12
27. januar 2019 af YesMe

Ahh, tænkte ikke over, at man skulle bruge |z|² = zCz, hvor C er den som du beskrev. Tak.

Så i d), skal jeg finde en funktion f, der afhænger af α og β, sådan at ₀∫¹|f(x)|² dx = ψ?

Brugbart svar (1)

Svar #13
27. januar 2019 af peter lind

Du skal finde α og β således at ∫₀¹|ψ|²dx er så stor som mulig

Svar #14
27. januar 2019 af YesMe

#13

Er det ikke først i e)? Jeg prøver at forstå d)'s problem.

Brugbart svar (1)

Svar #15
27. januar 2019 af peter lind

Undskyld ja

d) nej det skal du ikke du skal fare finde α og β udtrykt på den måde, der står i opgaven. så er ψ = αΦ₀ + βΦ₁

Svar #16
27. januar 2019 af YesMe

#15

Ah okay, så jeg skal regne videre ud her

$\Psi=\alpha \phi_0+\beta\phi_1=\left \langle \phi_0,\Psi \right \rangle \phi_0+\left \langle \phi_0,\Psi \right \rangle\phi_1=...?$

og derefter bestemmer jeg ∫₀¹|ψ(x)|²dx, da der står "Determine the probability to find the particle right of the origin if it is in the state ..."? [Her snakker jeg om d).]

Brugbart svar (1)

Svar #17
27. januar 2019 af peter lind

f erne og dermed Φ er proportionale med e^iπx og e^i2πx så det må Ψ også være

Svar #18
27. januar 2019 af YesMe

#17

Jeg forstår det ikke Så det jeg gjorde, er en forkert start? Har du mulighed for at vise hvad jeg skal helt præcis?

Brugbart svar (0)

Svar #19
27. januar 2019 af peter lind

Du skal skrive Ψ som d*e^iπx+fe^i2πx d²+f² = 1 og udregne <Φi|ψ>

Svar #20
27. januar 2019 af YesMe

Jeg kan ikke se sammenhængen. Hvad er d og f her?

Forrige 1 2 Næste

Der er 33 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.