Side 2 - Lidt om Hilbet rum, normalisering, orthonormal - Matematik

Brugbart svar (0)

Svar #21
27. januar 2019 af peter lind

Det er tal du skal fnde senere. Du kan også kalde dem α og β

Svar #22
29. januar 2019 af YesMe

Jeg prøver igen med at arbejde med d). Vi fandt tidligere, at Φ₀(x) = ((1+i)/2) exp(iπx) og Φ₁(x) = (1/√2) exp(2iπx). Her er

$|\Psi|^2=|\alpha|^2|\phi_0|^2+\alpha \bar{\beta}\overline{\phi_1}\phi_0+ \bar{\alpha}\beta\overline{\phi_0}\phi_1+|\beta|^2|\phi_1|^2$

så giver

$\int_{0}^{1} |\Psi(x)|^2\,\mathrm{d}x=|\alpha|^2\int_{0}^{1}|\phi_0(x)|^2\,\mathrm{d}x+\alpha \bar{\beta}\int_{0}^{1}\overline{\phi_1(x)}\phi_0(x)\,\mathrm{d}x\\+ \bar{\alpha}\beta\int_{0}^{1}\overline{\phi_0(x)}\phi_1(x)\,\mathrm{d}x+|\beta|^2\int_{0}^{1}|\phi_1(x)|^2\,\mathrm{d}x$

Det første og det sidste integral er 1/2, og

$\int_{0}^{1}\overline{\phi_1(x)}\phi_0(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1+i}{2\sqrt{2}}\int_{0}^{1} e^{-i\pi x}\,\mathrm{d}x=\frac{1-i}{\sqrt{2}\pi}$

$\int_{0}^{1}\overline{\phi_0(x)}\phi_1(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1-i}{2\sqrt{2}}\int_{0}^{1} e^{i\pi x}\,\mathrm{d}x=\frac{i+1}{\sqrt{2}\pi}$

så får vi tilsammen

$\int_{0}^{1} |\Psi(x)|^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left ( |\alpha|^2+|\beta|^2 \right )+\alpha \bar{\beta}\left ( \frac{1-i}{\sqrt{2}\pi} \right )+ \bar{\alpha}\beta\left ( \frac{i+1}{\sqrt{2}\pi} \right ).$

Er der mere jeg skal regne ud / reducere, eller? Skal jeg tage c) med her? Kan du hjælpe mig?

Edit: Jeg ved ikke om det er relevant her, men jeg har fundet ud af, at

$\left \langle \phi_0,\Psi \right \rangle=\left \langle \phi_0,\alpha\phi_0+\beta\phi_1 \right \rangle=\bar{\alpha}\left \langle \phi_0,\phi_0 \right \rangle+\bar{\beta}\left \langle \phi_0,\phi_1 \right \rangle=\bar{\alpha}$

og på samme måde er $\left \langle \phi_1,\Psi \right \rangle=\bar{\beta}$ . Så må $\alpha=\bar{\alpha}$ og $\beta=\bar{\beta}$ .

Brugbart svar (1)

Svar #23
29. januar 2019 af peter lind

|α|² + |β|² = 1 kan bruges til reduktion af udtrykket

αCβ og Cαβ er kompleks konj

Du skal finde α og β så udtrykket bliver så stor som mulig

Svar #24
29. januar 2019 af YesMe

#23

Kan vi lige vente med e)'eren? Jeg prøver at få d)'eren overstået. Det er det, som jeg har knoklet med at arbejde med din hjælp. Hvis z er et komplekst tal, så er z + Cz = 2Re(z). Dermed er

$\alpha \bar{\beta}\left ( \frac{1-i}{\sqrt{2}\pi} \right )+ \bar{\alpha}\beta\left ( \frac{i+1}{\sqrt{2}\pi} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}\pi}\left ( \alpha \bar{\beta}(1-i)+ \bar{\alpha}\beta(1+i) \right )\\ =\frac{1}{\sqrt{2}\pi}\left ( \alpha \bar{\beta}(1-i)+ \overline{\alpha\bar{\beta}(1-i)} \right )\\ =\frac{2}{\sqrt{2}\pi}\Re(\alpha \bar{\beta}(1-i))$

Så, får man

$\int_{0}^{1} |\Psi(x)|^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left ( |\alpha|^2+|\beta|^2 \right )+\alpha \bar{\beta}\left ( \frac{1-i}{\sqrt{2}\pi} \right )+ \bar{\alpha}\beta\left ( \frac{i+1}{\sqrt{2}\pi} \right )\\ =\frac{1}{2}+\frac{2}{\sqrt{2}\pi}\Re(\alpha \bar{\beta}(1-i))$

Svarer det så på d)'eren, eller skal der være et andet udtrykt nu?

Brugbart svar (0)

Svar #25
29. januar 2019 af peter lind

Ikke så vidt jeg umiddelbart kan se

Svar #26
29. januar 2019 af YesMe

Kan du venligst vise mig hvad du får resultatet til?

Brugbart svar (0)

Svar #27
30. januar 2019 af peter lind

Jeg har ikke regnet på det; men hvis både α og β er reelle er løsningen |α| = |β| = √½

Svar #28
30. januar 2019 af YesMe

OK. Tak for din tålmodighed. Kan du hjælpe mig med den sidste del af opgaven,

"What is the expectation value of the position operator in this state ψ_max" ?

Brugbart svar (0)

Svar #29
30. januar 2019 af peter lind

E(x) = ∫_-1¹x|Ψ(x)|²dx

Svar #30
31. januar 2019 af YesMe

Det tænkte jeg nok, men jeg blev dog forvirret da der stod ψ_max ... Skal jeg indsætte hvad α og β er, og så bestemme integralet af x|ψ(x)|² fra -1 til 1?

Brugbart svar (0)

Svar #31
31. januar 2019 af peter lind

ja

Svar #32
31. januar 2019 af YesMe

Perfekt ... Jeg har en sidste opgave, der lyder følgende

"Sketch the probability density |f(x)|² for Φ₀, Φ₁ and ψ_max in the interval [-1,1]"

Hvordan bestemmer jeg f.eks. sandsynlighedstæthed |f(x)|² for Φ₀?

Brugbart svar (0)

Svar #33
31. januar 2019 af peter lind

det er |Φ₀|², |Φ₁|² og |Ψ_max|². Du skal bare lave en graf for de funktioner

Matematik

Side 2 - Lidt om Hilbet rum, normalisering, orthonormal

Skriv et svar til: Lidt om Hilbet rum, normalisering, orthonormal