Matematik

Bestem forskrift - differentialligning

31. januar 2019 af simbouka - Niveau: A-niveau

I en sø udsættes 400 fisk af en bestemt art som ikke fandtes i søen før. På forhånd har man vurderet at det maksimale antal fisk af denne art i søen vil være 10⁴.

Antallet af fisk af arten i søen beskrives i en model ved en funktion f(x) der er løsning til differentialligningen

dy/dx=ay(M-y)

Hvor x betegner tidspunktet efter udsættelsen af de 400 fisk, og a er en konstant.

a) Bestem en forskrift f(x) når a=2*10⁴og bestem f(2).

Et skøn viser imidlertid at tallet af fisk til tidspunktet x=2 at være 8600.

b) Bestem på dette grundlag den værdi for a som får modellen til at passe med skønnet.

Er der en der kan skære ud i pap, hvordan denne opgave kan løses? Jeg har læst og læst, og jeg bliver mere og mere forvirret, og kan nu hverken finde hoved eller hale i noget.

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. januar 2019 af mathon

a)
differentialligningen
$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=ay(M-y)$
har løsningen

$\small f(x)=\frac{M}{1+Ce^{-a\cdot M\cdot x}}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
31. januar 2019 af mathon

i anvendelse:

differentialligningen
$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2\cdot 10^{4}\cdot y(10^4-y)$
har løsningen

$\small f(x)=\frac{10^4}{1+Ce^{-2\cdot 10^8\cdot x}}$

$\small f(0)=\frac{10^4}{1+Ce^{-2\cdot10^8\cdot 0}}=400$

$\small C=24$
hvoraf:

$\small f(x)=\frac{10^4}{1+24e^{-2\cdot 10^8\cdot x}}$

for x = 2
$\small \small f(2)=\frac{10^4}{1+24e^{-2\cdot 10^8\cdot 2}}=10000$

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. januar 2019 af mathon

$\small a=2\cdot 10^4\quad\textup{skulle formentlig have v\ae ret }a=2\cdot 10^{-4}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
31. januar 2019 af mathon

dvs

differentialligningen
$\small \small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2\cdot 10^{-4}\cdot y(10^4-y)$
har løsningen

$\small f(x)=\frac{10^4}{1+Ce^{-2 x}}$

$\small f(0)=\frac{10^4}{1+Ce^{-2\cdot 0}}=400$

$\small C=24$
hvoraf:

$\small f(x)=\frac{10^4}{1+24e^{-2 x}}$

for x = 2
$\small f(2)=\frac{10^4}{1+24e^{-2\cdot 2}}=6947$

Svar #5
31. januar 2019 af simbouka

Mathon du har ret, det skal være a=2*10^-4

Foreløbig tak for hjælpen, jeg sidder lige og kigger og regner :-)

Mit problem er at jeg bliver forvirret af de forskellige formler, og har svært ved at skelne hvad der skal sættes ind hvor.

De facit jeg har er dog lidt anderledes. I b) er facit a=2,5*10^-4

og i a) med f(x) er facit 6946.

Brugbart svar (0)

Svar #6
31. januar 2019 af mathon

b)
tilpasning af a-værdien til skønnet:
$\small f(2)=\frac{10^4}{1+24e^{-a\cdot 10^4\cdot 2}}=8600$

$\small 1+24e^{-a\cdot 10^4\cdot 2}=\frac{10^4}{8600}=\frac{50}{43}$

$\small 24e^{-a\cdot 10^4\cdot 2}=\frac{50-43}{43}=\frac{7}{43}$

$\small e^{-a\cdot 10^4\cdot 2}=\frac{7}{43\cdot 24}=\frac{7}{1032}$

$\small e^{2a\cdot 10^4}=\frac{1032}{7}$

$\small 2a\cdot 10^4=\ln\left (\frac{1032}{7} \right )$

$\small a=\frac{\ln\left (\frac{1032}{7} \right )}{2\cdot 10^4}=2.5\cdot 10^{-4}$

Svar #7
31. januar 2019 af simbouka

Mathon du var hurtigere end jeg. 1000 tak for hjælpen, jeg tror faktisk at jeg er ved at forstå nogeet af det. Du har fået det til at se overskueligt ud.

Så burde jeg også kunne komme videre med de andre opgaver jeg har, som er i samme stil.

Skriv et svar til: Bestem forskrift - differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.