Geometri- tvivl om opgave

Her er min tegning i maple:

Ingen der kan hjælpe?

har du overvejet at løse ligningerne eksplicit?

Ja det virker mærkeligt at punktet (1,0,0) skulle ligge væk fra. Har ikke forstået det til bunds nok til jeg kan løse det. Kan du give nogen hints med på vejen?

det hænger  sammen med det du har fået i c'eren

Jeg fik at p=(x,0,0) eller p=(1/2,0,z) og derved indenfor det ønskede interval 0<a<3/2 at det p=(1,0,0) er det eneste punkt i det ønskede interval af a i hvilket rangen af Jacobimatricen Df(p) er strengt mindre end 2?

Hvordan kæder jeg dette sammen til at løse e'eren?

Da rangen er mindre end 2 i intervallet 0<a<3/2 kun når p=(1,0,0) så er rangen af jacobimatricen 2 når a=1/3 og a=2/3. Da må determinanten være forskellig fra 0 for de to sidste søjler af Jacobimatricen og derved gælder sætningen om implicit givne funktioner når a=1/3 og a=2/3 eller hvad?

Du kan ikke bruge c'eren, da implicit function thoerem kun giver en tilstrækkelig betingelse for at grafen lokalt er en funktion. Det kan den stadig godt være uden fuld rang af jacobimatricen.

e) Jacobimatricen i punktet (1,0,0) er
  
Retningen af en evt. implicit kurve omkring (1, 0, 0) er vinkeltret på hver af rækkerne i matricen, så en kurves retningsvektor ud fra punktet (1,0,0) har formen (0, y, z).

Hvis vi antager at der går en kurve ud fra (1,0,0) i retning (0, y, z), hvor både y og z er forskellige fra 0, så vil der også gå kurver ud fra (1,0,0) i retning af både (0, -y, z),  (0, y, -z),  og  (0, -y, -z), fordi både y og z indgår symmetriskt i ligningerne.

Som funktion af x vil man derfor se 4 forskellige curver ud fra punktet (1, 0, 0), hvis ellers kurverne overhovedet krummer ud af yz-retningen, som de skal gøre hvis man skal have en funktion af x.

Som funktion af y eller z vil man se 2 forskellige curver ud fra punktet (1, 0, 0).

Hvis y eller z i retningsvektoren er 0, så vil der godt kunne være en kurve som funktion af y eller z, men i retningen (0, 0, ±z) fortsætter kuglen i en cirkel, mens cylinderen fortsætter i en linje tangent til cirklen, og disse har kun en skæring, hvilket udlukker at der dannes en kurve. I retningen (0, ±y, 0) fortsætter både kuglen og cylinderen som en cirkler, men med forskellig radius, og disse har også kun en skæring.
Dvs. retningen af de kurver der måtte være er (0, y, z), hvor både y og z er forskellige fra 0, hvilket pga. symmetri ikke giver en funktion af hverken x, y eller z.

#8 Tak det giver mening. Jeg prøver at se om jeg kan få det visualiseret i Maple. Det er sgu også en lidt kringlet opgave da sætningerne om implicite funktioner ikke er "hvis og kun hvis"-sætninger så kan ikke udelukke det entydigt ud fra dem.

Har du nogen hints til d'eren?