Matematik

generelle løsning + begreberne overdamping, critical damping og underdamping

29. juni 2019 af Yipikaye - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Hvordan vil den generelle løsning se ud for følgende anden ordens differential ligning hvis nu alt energien omsættes til varme energi efter ganske få svingninger eller enddog bare efter en enkelt svingning?

$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+6\pi r\mu\frac{dx}{dt}+kx=0$

rødderne ser således ud

$\lambda =-\frac{6\pi r\mu }{2m}+\frac{\sqrt{36\pi ^{2}r^{2}\mu ^{2}-4mk}}{2m}$

$\lambda =-\frac{6\pi r\mu }{2m}-\frac{\sqrt{36\pi ^{2}r^{2}\mu ^{2}-4mk}}{2m}$

Hvis diskriminanten er større end nul, så er der tale om begrebet overdamping. Hvis diskriminanten er lig med nul, så er der tale om begrebet critical damping og sidst men ikke mindst hvis diskriminanten er mindre end nul, så er der tale om underdamping.

Hvis nu som ovenfor nævnt at alt energien omsættes til varme efter en enkelt svingning eller bare ganske få svingninger, så må diskriminanten enten være større eller lig med nul. Altså enten så må der være tale om overdamping eller critical damping. Har dette betydning for hvordan den generelle løsning ser ud?

Brugbart svar (1)

Svar #1
29. juni 2019 af peter lind

Rødderne kan skrives som

λ=-k1±k2 så den totale løsning er

c1*e^-k1t+k2t +c2e^-k1t-k2t

Jeg går ud fra at k2 er et reelt tal

Svar #2
29. juni 2019 af Yipikaye

Kan man skrive ovenfor stående løsning på en anden måde, hvor sinus og cosinus indgår?

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. juni 2019 af peter lind

Hvis k2 er et kompleks tal bliver løsningen

c1*e^-k1t*cos(|k2|t) + c₂*e^-k2t*sin(|k2|t)

Svar #4
29. juni 2019 af Yipikaye

Dertil har jeg yderligere spørgsmål. Har du ikke lavet en fejl i den generelle løsning? Skal +k2t ikke opløftes sammen med -k1t. Således at der kommer til at stå følgende.

c1*e^(-k1t+k2t)+c2*e^(-k1t-k2t)

Derudover så må det jo betyde at der er tale om overdamping i den pågældende situation. Er det ikke rigtig forstået?

Til sidst vil jeg lige spørge om der ikke kun er en svingning ved overdampning?

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. juni 2019 af peter lind

Hvis k2 er kompleks kan det skrves som i #3. så bliver det en reel løsning. Hvis k2 er reel kan det skrives som i #1 og #4. og resultatet bliver en reel funktion. Hvis k2 er kompleks kan det også skrives som i #1 og #4 men så bliver det er kompleks funktion

Brugbart svar (0)

Svar #6
30. juni 2019 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{underd\ae mpning:}&\left (6\pi r\mu \right ) ^2-4mk<0\\\\ &\lambda =-\frac{6\pi r\mu}{2m }\mp i\cdot \sqrt{4mk-\left ( 6\pi r\mu \right ) ^2 }\\\\ &y=e^{-\frac{6\pi r\mu }{2m}x}\cdot \left ( c_1\cdot \cos\left ( \sqrt{4mk-\left ( 6\pi r\mu \right ) ^2 } \right )x+c_2\cdot \sin\left ( \sqrt{4mk-\left ( 6\pi r\mu \right ) ^2 } \right )x \right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. juli 2019 af mathon

tastekorrektion:

$\small \small \small \begin{array}{lllll} \textup{underd\ae mpning:}&\left (6\pi r\mu \right ) ^2-4mk<0\\\\ &\lambda =-\frac{6\pi r\mu}{2m }\mp i\cdot \sqrt{4mk-\left ( 6\pi r\mu \right ) ^2 }\\\\ &y=e^{-\frac{6\pi r\mu }{2m}x}\cdot \left ( c_1\cdot \cos\left ( \sqrt{4mk-\left ( 6\pi r\mu \right ) ^2 }\cdot x \right )+c_2\cdot \sin\left ( \sqrt{4mk-\left ( 6\pi r\mu \right ) ^2 }\cdot x\right) \right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
01. juli 2019 af mathon

detaljer:

$\small \small \begin{array}{lll} &a\frac{\mathrm{d^2}y }{\mathrm{d} x^2}+b\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+cy=0\\\\\textup{N\aa r l\o øsningerne til }\\ \textup{karakterligningen}&ar^2+br+c=0 \\\\ \textup{er}&r=\alpha \mp \beta i\\\\ \textup{haves}&y=c_1\cdot e^{(\alpha +i\beta)x }+c_2\cdot e^{(\alpha -i\beta)x }=\\\\ &c_1\cdot e^{\alpha x}\cdot e^{i(\beta x)}+c_2\cdot e^{\alpha x}\cdot e^{i(-\beta x)}=\\\\ &e^{\alpha x}\cdot \left ( c_1\left ( \cos(\beta x) \right )+i\sin(\beta x)+c_2\left ( \cos\left ( \beta x \right )-i\sin\left ( \beta x \right ) \right ) \right )=\\\\ &e^{\alpha x}\cdot \left ((c_1+c_2)\cdot \cos(\beta x) +(c_1-c_2)i\cdot \sin(\beta x)\right )=\\\\ &e^{\alpha x}\cdot \left ( C_1 \cos(\beta x) +C_2\sin(\beta x) \right )\qquad C_1=(c_1+c_2)\qquad C_2=(c_1-c_2)i \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
01. juli 2019 af mathon

korrektion af parentes-rod i # 8 linje 9:

$\small \! \! \! \! \! \! \! \! e^{\alpha x}\left ( c_1\cdot \left ( \cos(\beta x) \right ) +i\sin(\beta x)+c_2\left ( \cos(\beta x) -i\sin(\beta x)\right )\right)\\\\ \xrightarrow[]{\textup{rettes til}}\\\\ e^{\alpha x}\left ( c_1\cdot \left ( \cos(\beta x) +i\sin(\beta x) \right )+c_2\left ( \cos(\beta x) -i\sin(\beta x)\right )\right)$

Brugbart svar (0)

Svar #10
07. juli 2019 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll}\textup{I fysik anvendt som}\\ &e^{\alpha x}\cdot \left ( C_1\cdot \cos(\beta x)+ C_2\cdot \sin(\beta x) \right )=\\\\ &e^{\alpha x}\cdot \left ( \sqrt{{C_1}^2+{C_2}^2} \right )\cdot \cos(\beta x-\varphi )=\\\\ &e^{\alpha x}\cdot A\cdot \sin(\beta x-\varphi+\frac{\pi }{2} )=\\\\ &e^{\alpha x}\cdot A\cdot \sin(\beta x+\varphi_1 ) \\\\ \textup{p\aa \ formen} &e^{-\lambda t}\cdot A\cdot \sin(\omega t+\varphi_0 ) \end{array}$

$\textup{til beskrivelse af en d\ae mpet harmonisk svingning.}$

Svar #11
27. juli 2019 af Yipikaye

Hej igen. Det er godt nok noget sent at jeg skriver tilbage. Men har du ikke glemt at dividere diskriminanten med 2m i svar #6?

Ellers så forstår jeg godt dine mellemregninger samt dine rettelser.

Brugbart svar (0)

Svar #12
27. juli 2019 af mathon

#11

$\small \begin{array}{lllll} \textup{underd\ae mpning:}&\left (6\pi r\mu \right ) ^2-4mk<0\\\\\textup{du har ret!}\\\\ &\lambda =-\frac{6\pi r\mu}{2m }\mp i\cdot\frac{ \sqrt{4mk-\left ( 6\pi r\mu \right ) ^2 }}{2m}\\\\ &y=e^{-\frac{6\pi r\mu }{2m}x}\cdot \left ( c_1\cdot \cos\left (\frac{ \sqrt{4mk-\left ( 6\pi r\mu \right ) ^2 }}{2m}\cdot x \right )+c_2\cdot \sin\left (\frac{ \sqrt{4mk-\left ( 6\pi r\mu \right ) ^2 }}{2m}\cdot x\right) \right ) \end{array}$

Skriv et svar til: generelle løsning + begreberne overdamping, critical damping og underdamping

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.