Matematik

Bevis for Cassini's identity ved brug af induktion

09. september 2019 af Mathias7878 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle

Jeg er begyndt på mat-øk studiet på Aarhus Universitet og har problemer med en opgave, jeg håber I kan hjælpe mig videre med.

Jeg skal bevise ved brug af induktion, at Casini's identity

$P^2_{n+1}-p_n\cdot p_{n+2} = (-1)^n$

gælder for alle naturlige tal N.

Det første step, som vi også har fået forklaret til forelæsningerne er, at vi først skal bevise, at dette gælder for et vilkårligt n (har bare valgt n = 1) og dette er korrekt.

Derefter skal vi vise, at det gælder for n+1 (hvorfor det i denne anledning vil gælde for alle naturlige tal N, hvis det gælder for n+1).

Jeg var dog ret lost her, hvorfor jeg fandt beviset på nettet (se gerne https://proofwiki.org/wiki/Cassini%27s_Identity) og er i tvivl om nogle af de forskellige mellemregninger, og håber I kan afklare, hvad der egentlig sker, f.eks. hvordan kan man gå fra

$P_{n+2}\cdot P_n$

til

$(P_n+P_{n+1})\cdot P_n$

$P_n+P_{n+1} = P_{n+2}$

og hvordan? Er det her man indsætter n = n+1 og dermed får

$P_{n+1}+P_{n+1} = P_{n+2}$

På forhånd tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. september 2019 af peter lind

Beviset er ufuldstændigt. Han påstår at det gælder for Fibonacci tal og bruger dernæst Fibonaccis formel

Svar #2
09. september 2019 af Mathias7878

# nå okay, så man kan ikke rigtigt bruge det til noget?

Vores instruktor gav os et hint om, at hvis man ganger det første, jeg skrev med -1 på begge sider får man

$P_ {n+2}\cdot P_n-P^2_{n+1} = 1^n$

men hvordan kommer man videre herfra? Skal jeg indsætte n = n+1 og regne videre?

- - -

Svar #3
09. september 2019 af Mathias7878

I forlængelse af overstående vil jeg så få

$P_{(n+1)+2}\cdot P_{n+1}-P^2_{(n+1)+1} = 1^{n+1}$

og reduceret til

$P_{n+3}\cdot P_{n+1}-P^2_{n+2} = 1^{n+1}$

Er dette korrekt? Og hvvad gør jeg så nu?

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #4
09. september 2019 af Soeffi

#2.

Hvis du ganger (-1)ⁿ med -1 får du (-1)ⁿ⁺¹ og ikke 1ⁿ (som er lig med 1).

Svar #5
09. september 2019 af Mathias7878

Nå ja selvfølgelig, fordi det har samme grundtal og så lægger man en til i eksponenten - tak!

Så jeg har

$P_{n+3}\cdot P_{n+1}-P^2_{n+2} = -(1)^{n+2}$

men hvordan kommer jeg videre?

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. september 2019 af peter lind

(-1)ⁿ⁺² = (-1)ⁿ

Du kan prøve at regne de første ud og se om der er et mønster

Gælder der at begyndelsesbetingelserne er som i din henvisning ?

Svar #7
09. september 2019 af Mathias7878

#6
(-1)ⁿ⁺² = (-1)ⁿ

Du kan prøve at regne de første ud og se om der er et mønster

Gælder der at begyndelsesbetingelserne er som i din henvisning ?

Jeg prøver at kigge på det i morgen i skolen med min læsegruppe :)

Men altså det eneste, vi har fået at vide er, at vi skal bevise, at der gælder

$P^2_{n+1}-p_n\cdot p_{n+2} = (-1)^n$

for alle naturlige tal N og jf., hvad vi har fået at vide til forelæsningen skal vi først bevise, at det gælder for et vilkårligt N, f.eks. n = 1, og derefter bevise det for n+1, hvilket så gør sig gældende for alle værdier af n.

- - -

Skriv et svar til: Bevis for Cassini's identity ved brug af induktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.