(Bevis) Hvis 2^n-1 er et primtal, så er n et primtal

jo

Okay. Tak.

Et spørgsmål mht. faktoren i (4.2) yderst til højre. For at vise at det er større end 1 er det nok at vise at et af ledene er større end 1. Grunden må være at vi ved at alle led må være naturlige (hvordan ved vi det), og derfor kan de ikke være negative. De naturlige tal er nemlig lukket ved addition og multiplikation, og potenser er jo en slags multiplikaiton.

?

Desuden, står der efter (4.1) at 1 < a, b < n. Hvorfor skriver man ikke bare 2 ≤ a,b<n? a og b er jo naturlige tal. Hvis de er større end 1 må de betyde at de er lig 2 eller større.

#0
Jeg kunne vælge  n=3.
Så siger sætningen:           "Hvis       2³-1   er et primtal, så er 3 et primtal".

Men  2³-1  er jo 7, som er et primtal. Ergo er 3 et primtal.
Mig godt forstå!

#4

#0
Jeg kunne vælge  n=3.
Så siger sætningen:           "Hvis       2³-1   er et primtal, så er 3 et primtal".

Men  2³-1  er jo 7, som er et primtal. Ergo er 3 et primtal.
Mig godt forstå!

Du har desværre misforstået det. "Hvis 2^n-1 er et primtal, så er n et primtal" er ikke det som forfatteren mener.   Et modeksempel er n = 11.

At der er folk som misforstår det viser jo bare at forfatteren ikke formulerer sig godt nok.

#2 Alle led er jo af formen 2^k hvor k er et helt tal eller det sidste som er 1, så det er en sum af naturlige tal

#5

#4

#0
Jeg kunne vælge  n=3.
Så siger sætningen:           "Hvis       2³-1   er et primtal, så er 3 et primtal".

Men  2³-1  er jo 7, som er et primtal. Ergo er 3 et primtal.
Mig godt forstå!

Du har desværre misforstået det. "Hvis 2^n-1 er et primtal, så er n et primtal" er ikke det som forfatteren mener.   Et modeksempel er n = 11.

At der er folk som misforstår det viser jo bare at forfatteren ikke formulerer sig godt nok.

Hvordan er n = 11 et modeksempel? Sætningen siger jo ikke noget om, at du kan sætte 11 ind og derved få et primtal; blot at hvis du sætter noget ind og ender med et primtal, så var det du satte ind et primtal.

#6

#2 Alle led er jo af formen 2^k hvor k er et helt tal eller det sidste som er 1, så det er en sum af naturlige tal

JA, det kan jeg godt se. Men kan faktisk være strengere og sige at k er et naturligt tal. 

#0. Modstridsbevis eller indirekte bevis:

Antag 2ⁿ-1 er et primtal, men at n ikke er. I så kan n skrives som et produkt p·q, hvor p og q er naturlige tal større end 1.

Man kan omskrive 2^pq - 1 til et produkt: 2^pq - 1 = (2^p)^q - 1 = (2^p - 1)·((2^p)^q-1 + (2^p)^q-2 +...+ 2^p + 1).

Det ses, at begge faktorer er større end 1 og dermed er 2^pq - 1 ikke et primtal. Dette er en modstrid!