Matematik

Lad n = k∙m, hvor k,m er naturlige tal og m er ulige.

12. oktober 2019 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Lad n = k·m, hvor k,m er naturlige tal og m er ulige. Vis ved udregning at der gælder

\left(2^{k}+1\right)\left(2^{k m-k}-2^{k m-2 k}+2^{k m-3 k}-2^{k m-4 k}+\cdots+1\right)=\left(2^{k m}+1\right)

Det er nemt nok:

\begin{array}{r}{\left(2^{k}+1\right)\left(2^{k m-k}-2^{k m-2 k}+2^{k m-3 k}-2^{k m-4 k}+\cdots+1\right)=} \\ {2^{k m}-2^{k m-k}+2^{k m-2 k}-2^{k m-3 k}+\cdots+2^{k}} \\ {+\left(2^{k m-k}-2^{k m-2 k}+2^{k m-3 k}-2^{k m-4 k}+\cdots+1\right)=} \\ {\cdot \cdot+1=} \\ {2^{k m}+1}\end{array}

Problemet er at jeg ikke kan pinpointe det sted hvor jeg bruger at m er ulige. 

Der står i opgaveteksten at jeg skal overveje hvor jeg bruger at m er ulige.

Mvh.


Brugbart svar (1)

Svar #1
12. oktober 2019 af AskTheAfghan

Hint: Benyt, at

\frac{2^{km}+1}{2^k+1}=\frac{1+(2^k)^m}{1+2^k}=\frac{1-(-2^k)^m}{1-(-2^k)}

Det sidste lighedstegn kommer fra det faktum, at m er ulige. Højresiden siger noget om en geometrisk række.


Brugbart svar (1)

Svar #2
12. oktober 2019 af Bibo53

I udtrykket

2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-\cdots+2^{2k}-2^k+1

har vi skiftevis plus og minus. Da antallet af led er m, og første og sidste led har samme fortegn, må m være ulige. (Hvis m havde været lige, skulle vi slutte med -1 i stedet for +1.)


Svar #3
12. oktober 2019 af anonym000

#2

I udtrykket

2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-\cdots+2^{2k}-2^k+1

har vi skiftevis plus og minus. Da antallet af led er m, og første og sidste led har samme fortegn, må m være ulige. (Hvis m havde været lige, skulle vi slutte med -1 i stedet for +1.)

Hvis m var lige havde man 2^km-1 istf. 2^km+1, ikke.

- - -

...............


Brugbart svar (0)

Svar #4
12. oktober 2019 af Bibo53

Jo.


Svar #5
12. oktober 2019 af anonym000

#4

Jo.

OK, jeg kom også frem til den omskrvining du har lavet. Denne bruger jeg :-)

- - -

...............


Svar #6
12. oktober 2019 af anonym000

#1

Hint: Benyt, at

\frac{2^{km}+1}{2^k+1}=\frac{1+(2^k)^m}{1+2^k}=\frac{1-(-2^k)^m}{1-(-2^k)}

Det sidste lighedstegn kommer fra det faktum, at m er ulige. Højresiden siger noget om en geometrisk række.

Det vil jeg lade være en alternativ løsning :-)

- - -

...............


Svar #7
12. oktober 2019 af anonym000

#4

Jo.

Hvordan beskriver jeg at de parvist går ud med hinanden?

- - -

...............


Skriv et svar til: Lad n = k∙m, hvor k,m er naturlige tal og m er ulige.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.