Matematik

Cirkel og linie - analytisk geometri

13. november 2019 af ppilbauer - Niveau: B-niveau

Hejsa, jeg har brug for hjælp med en opgave mere :-) Jeg ved godt hvordan den skal løses men jeg har sandsynligvis lavet en fejl og dervor vil jeg gerne kigge på den rigtige løsning så jeg kan have en sammenligning :-)

Bestem samtlige skæringspunkter mellem cirklen C : x2 + y2 + 4x − 6y − 3 = 0 og

linienl: y=2x−1.

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. november 2019 af Anders521

#0 Ka' du mon vise os, hvordan du har løst opgaven?

Svar #2
13. november 2019 af ppilbauer

C: x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0

(x+2)^2 + (y-3)^2 = 3 + 4 + 9

(x+2)^2 + (y - 3)^2 = 16

dvs. at cirklens radius er lig med 4

l: y = 2x-1

Nu tjekker jeg, om der faktisk er to skæringspunkter ved at indsætte ligningen for y ind i cirklens ligning i stedet for y-værdi.

(x+2)^2 + (2x-1-3)^2 = 4

(x+2)^2 + (2x-4)^2 = 4

(x+2)^2 + 2(x-2)^2 = 4

x^2 + 4 + 4x + 2 * (x^2 + 4 - 4x) = 4

x^2 + 4 + 4x + 2x^2.+ 8 - 8x = 4

3x^2 - 4x + 12 = 4

3x^2 - 4x = 4 - 12

3x^2 - 4x = -8

Til sidst skal jeg bruge nulreglen for at finde skæringspunkterne men jeg tror, at mine beregninger må være forkerte..

3x^2 - 4x = -8

x(3x - 4) = -8

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. november 2019 af StoreNord

Det er radius, der 4, ja. Men du skal skrive 4² på højre side.

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. november 2019 af ringstedLC

#2
Nu tjekker jeg, om der faktisk er to skæringspunkter ved at indsætte ligningen for y ind i cirklens ligning i stedet for y-værdi.

(x+2)^2 + (2x-1-3)^2 = 4

(x+2)^2 + (2x-4)^2 = 4

(x+2)^2 + 2(x-2)^2 = 4

Til sidst skal jeg bruge nulreglen for at finde skæringspunkterne men jeg tror, at mine beregninger må være forkerte..

3x^2 - 4x = -8

x(3x - 4) = -8

$\begin{align*} x^2+4+4x+{\color{DarkGreen} 4x^2+16-16x} &= {\color{DarkGreen} 4^2} \end{align*}$

og du kan jo ikke bruge nulreglen, når produktet ikke er nul. Brug den "almindelige" løsningsformel for en 2. gradsligning på formen:

$\begin{align*} ax^2+bx+c &= 0 \end{align*}$

Svar #5
13. november 2019 af ppilbauer

Det giver en meget god mening nu :-) Men jeg fik nogle mærklige resultater, netop -0.211 og -3.789

Svar #6
13. november 2019 af ppilbauer

Min andengrads ligning er følgende: 5x^2 + 20x + 4 = 0

d = 20^2 - 4 * 5 * 4

d = 320

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. november 2019 af ringstedLC

Ja, og når d = 320 skal du finde "?" løsninger. Løsningen(erne) er x-værdien til skæringspunktet som nemmest indsættes i ligningen for l.

Svar #8
13. november 2019 af ppilbauer

Så skal jeg finde 2 løsninger :-) Og det har jeg gjort.. Men jeg fik de her to mærkelige decimeltal og det synes jeg ikke er de rigtige løsninger?

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. november 2019 af ringstedLC

#7: Undskyld. Ligningen reduceres til:

$\begin{align*} x^{2} + 4 + 4x + 4x^{2} + 16 - 16x &= 4^2 \\ 5x^2-12x+4 &= 0 \\ d &= (-12)^2-4\cdot 5\cdot 4 =64 \\ x &= \frac{-(-12)\pm\sqrt{64}}{2\cdot 5} \\ &= \frac{12\pm8}{10} \\ x=2&\vee x=0.4 \end{align*}$

Skriv et svar til: Cirkel og linie - analytisk geometri

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.