Matematik

Virker substitutionsmetoden også uden g'(x)?

25. november 2019 af kris022g - Niveau: A-niveau

I integralregning findes reglen "substitutionsmetoden":

Hvis f(x)=h(g(x))*g'(x)
Så er...
F(x)=H(g(x))

Altså: Hvis man har funktionen, som består af en funktion virkende på en indre funktion - og samtidig ganges med differentialkvotienten til den indre funktion. Jamen så kan integralet findes ved at integrere den ydre funktion, og beholde den indre.

Men lærere og https://www.integral-calculator.com/ bruger substitutionsmetoden til at løse funktioner der IKKE indeholder g'(x). Selvom det var et krav i reglen.

Fx: f(x)=(5x+2)^7. Denne funktion indeholder ikke g'(x) som i dette tilfælde ville være 5.
Her er svaret, via substitution: F(x)= 1/40*(5x+2)^8

Hvordan er det en legitim løsning at bruge substitution, når funktionen ikke indeholdt g'(x)???

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. november 2019 af peter lind

Du substituerer t = 5x+7 dt=5dx

Svar #2
25. november 2019 af kris022g

Fuldstændig enig. Mit spørgsmål går på HVORFOR jeg må substituere, når funktionen ikke følger eller kan omskrives til formen h(g(x))*g'(x).

Brugbart svar (1)

Svar #3
25. november 2019 af mathon

Det er sikkert et notationsspørgsmål:

$\small \! \! \! \! \! \! \int \left ( 5x+2 \right )^7\mathrm{d}x=\frac{1}{5}\cdot \int \left ( 5x+2 \right )^7\cdot 5\, \mathrm{d}x=\frac{1}{5}\cdot u^7\mathrm{d}u=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{8}u^8 +k=\frac{1}{40}\cdot \left (5x+2 \right )^8+k$

$\small g(x)=5x+2\qquad g{\, }'(x)=5$

Legitimiteten er forhåbentlig genoprettet med den anvendte notation.

Brugbart svar (0)

Svar #4
25. november 2019 af mathon

Integration med substitution:

Alment:
   Når $F$ er en stamfunktion til $f$
haves:
   $\small \left (F(g(x)) \right ){\, }'=F{\, }'(g(x))\cdot g{\, }'(x)=f(g(x))\cdot g{\, }'(x)$
hvorfor
   $\small \int f(g(x))g{\, }'(x)\, \mathrm{d}x=F(g(x))+k$

og det bestemte integral

$\small \int_{a}^{b} f(g(x))g{\, }'(x)\, \mathrm{d}x=F(g(b))-F(g(a))=F(\beta)-F(\alpha)=$

$\small \small \int_{\alpha =g(a)}^{\beta =g(b)}f(u)\, \mathrm{d}u\qquad \textup{ hvor }u=g(x)\textup{ og }\mathrm{d}u=g{\, }'(x)\mathrm{d}x\quad \textup{ samt }\begin{matrix} b\\a \end{matrix}\rightarrow \begin{matrix} \beta \\ \alpha \end{matrix}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
25. november 2019 af mathon

Svaret er: Substitutionsmetoden virker ikke, hvis integranden ikke kan bringes på formen $\small f(g(x))\cdot g{\, }'(x)$ .

Svar #6
25. november 2019 af kris022g

Tak for svar. Jeg troede ikke at funktionen kunne bringes på formen f(g(x))*g'(x). Men det modbeviste du.

Brugbart svar (1)

Svar #7
25. november 2019 af AMelev

#0 Supplement/"En anden måde at sige det på" til de øvrige svar.

Du har en god pointe og dejlig undren.
I eksemplet mangler du "·g'(x)", altså "·5", for at du direkte kan lave substitutionen. Hvis du nu på legitim måde kan skaffe det manglende uden at ændre værdien, kan du bruge metoden.
Fidusen er at gange og dividere med 5, hvilket jo ikke ændrer resultatet, jf #3.
Så kan du sætte 1/5 uden for integraltegnet, jf FS side 8 (46), og så kan du bruge substitution, som du gerne vil, på integralet, og får så F(x)=1/5·H(g(x)).

Metoden med at gange og dividere med samme konstant og sætte den "ubrugelige konstant" uden for integraltegnet er standard ved substitution.
Eks. $\int \frac{4x+6}{x^2+3x+7}dx$
$g(x)=x^2+3x+7\Rightarrow g'(x)=2x+3$
$f(g(x))=\frac{1}{g(x)}$
$\int \frac{4x+6}{x^2+3x+7}dx=\int 2\cdot \frac{\frac{1}{2}\cdot \left (4x+6 \right )}{x^2+3x+7}dx= 2\cdot \int \frac{2x+3}{x^2+3x+7}dx=$
$2\cdot \int f(g(x))\cdot g'(x)dx=F(g(x))+k$

Svar #8
25. november 2019 af kris022g

Tak for at omsætte svaret til ord, AMelev!

Skriv et svar til: Virker substitutionsmetoden også uden g'(x)?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.