Matematik

Hjælp til cirklen og tangent

16. april 2020 af Ladora (Slettet) - Niveau: C-niveau

Hej, jeg kan ikke finde ud af den her opgave :(

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2020-04-16 kl. 19.06.55.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. april 2020 af AMelev

Angiv lige hvilken Bekendtgørelse skal din uddannelse følge? STX, HF eller? Det holder nok ikke med universitetsunderviser i faget.

Det er svært at komme med anvisninger, når vi ikke ved hvilke redskaber, du bør have med i værktøjskassen.
Har du fx vektorer til rådighed?

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. april 2020 af StoreNord

a)
Her skal du finde skæringspunktet med y-aksen ved at indsætte 0 i stedet for x i tangentens ligning.
Og vise versa.

Svar #3
16. april 2020 af Ladora (Slettet)

Der står C-niveau :D (stx)

Svar #4
16. april 2020 af Ladora (Slettet)

Opgavenn er det eneste der var :o

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. april 2020 af ringstedLC

a) En ligning for m bestemmes ved tværvektoren til l 's normalvektor og centrum C som punkt. Isoler dens y og indsæt udtrykket i cirklens ligning. Det giver to løsninger, der er x-værdierne i skæringspunkterne.

b) Brug distanceformlen til at finde afstanden fra centrum C til l. Den - r er den korteste afstand.

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. april 2020 af AMelev

Jeg er stadig ikke helt med. Cirkler er ikke normalt C-niveaustof på STX. Er det C-niveau i din studieretning, eller har du skrevet forkert?
Niveauet er bla. afgørende for, hvilken formelsamling, vi kan henvise til.

Svar #7
16. april 2020 af Ladora (Slettet)

Det er matematik på C niveau i 1g.

Svar #8
17. april 2020 af Ladora (Slettet)

Forstår ikke helt hvordan :(

Brugbart svar (0)

Svar #9
17. april 2020 af ringstedLC

Beskriv hvad du ikke forstår, #8 siger jo ikke noget.

Svar #10
17. april 2020 af Ladora (Slettet)

Når jeg tar tangentens ligning og sætter 0 ind i x, solver for y, for jeg 2. Men jeg har lavet den inde på geogebra hvor der ikke er et 2-tal som y værdi :( og forstår ikke det der med normalvektor og egentlig hele a :(

Brugbart svar (0)

Svar #11
17. april 2020 af StoreNord

#10
Jeg ser, du har prøvet at bruge mit dårlige råd fra #2.
Det beklager jeg dybt, for det er nemlig forkert.

Lyt til ringstedLC

Svar #12
17. april 2020 af Ladora (Slettet)

det er helt okay :D men jeg forstår stadig intet :(

Brugbart svar (0)

Svar #13
17. april 2020 af StoreNord

Du kan bruge Distanceformelen:
https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/geometri/distanceformlen
til at finde den korteste afstand mellem linjen og cirklens centrum;
og så trække radius fra.

Brugbart svar (0)

Svar #14
17. april 2020 af StoreNord

Det var b) jeg lige har svaret på. :-)

Angående a):
hvis du ikke har lært om tværvektor og normalvektor, kan du bruge, at hvis 2 linjer står vinkelret på hinanden, er deres produkt -1. Derfor har linje m hældningen 1.

Brugbart svar (1)

Svar #15
17. april 2020 af ringstedLC

#10
Når jeg tar tangentens ligning og sætter 0 ind i x, solver for y, for jeg 2. Men jeg har lavet den inde på geogebra hvor der ikke er et 2-tal som y værdi :( og forstår ikke det der med normalvektor og egentlig hele a :(

Så er det jo det som du skal spørge til. Du har i den sidste månedstid fået hjælp til flere vektoropgaver, men ikke besvaret hjælpen. Så regner jeg med, at du har forstået den.

Når du har en linje som her på formen:

$\begin{align*} l:2x+2y-4 &= 0 \end{align*}$

så er den givet på "normalvektor-formen", hvor normalvektoren er:

$\begin{align*} ax+by-c &= 0\;,\;\vec{n}=\binom{a}{b} \end{align*}$

a) En normalvektor står vinkelret på linjen og kan altså aflæses direkte i ligningen:

$\begin{align*} l:2x+2y-4 &= 0\;,\;\overrightarrow{n_l}=\binom{2}{2} \end{align*}$

Når linjen m står vinkelret på linjen l, må dens normalvektor n_m stå vinkelret på n_l. To vinkelrette vektorer er hinandens tværvektorer. En tværvektor vises med "^" (en hat):

$\begin{align*} \vec{a} &\perp \widehat{\vec{a}} \\ \vec{a}=\binom{a_1}{a_2}&\Rightarrow \widehat{\vec{a}}=\binom{-a_2}{a_1} \end{align*}$

Så ved at bestemme tværvektoren til n_lkan normalvektoren for m bestemmes:

$\begin{align*} \overrightarrow{n_l}\perp \overrightarrow{n_m} &\Rightarrow \widehat{ \overrightarrow{n_l}}=\overrightarrow{n_m} \\ \overrightarrow{n_l}=\binom{2}{2} &\Rightarrow \widehat{ \overrightarrow{n_l}}=\binom{-2}{2}=\overrightarrow{n_m} \end{align*}$

Når man har et punkt og en retning, kan linjens ligning bestemmes, og da m går gennem centrum O_C = (3,4), bruger vi det. Linjens ligning gennem et punkt (x₀,y₀):

$\begin{align*} a\,(x-x_0)+b\,(y-y_0) &= 0 \\ m:-2\,(x-3)+2\,(y-4) &= 0 \\ -2x+6+2y-8 &= 0 \\ -2x+2y-2 &= 0 \\ -\cancel{2}x+\cancel{2}y-\cancel{2} &= \cancel{0} \\ m:-x+y-1 &= 0 \end{align*}$

Når to linjer, rette eller krumme skærer hinanden, er deres y-værdier den samme. Så vi omskriver ligningen til "y-formen":

$\begin{align*} m:-x+y+7 &= 0 \Rightarrow m:y=x+1 \end{align*}$

Skæringerne:

$\begin{align*} C:(x-3)^2+(y-4)^2 &= 9 \\ m:y &= x+1 \\ (x-3)^2+((x+1)-4)^2 &= 9 \\ 2\,(x-3)^2 &= 9 \\ (x-3)^2 &= 4.5 \\ x &= 3\pm\sqrt{4.5} \\ x &= \left\{\begin{matrix} 0.88 \\ 5.12 \end{matrix}\right. \\ y_1=0.88+1=1.88\;&,\;y_2=5.12+1=6.12 \\ S_1=(0.88,\,1.88)\;&,\;S_2=(5.12,\,6.12) \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #16
17. april 2020 af ringstedLC

$\begin{align*} dist(P,\,\ell) &= \frac{\left | ax_{0}+by_{0}+c\right |}{\sqrt{a^2+b^2}} \;,\;P=(x_{0},y_{0})\;,\;\overrightarrow{n_{\ell}}=\binom{a}{b} \\ dist(O_{c},\,\ell) &= dist(C,\,\ell)-r \\ dist(O_{c},\,\ell) &= \frac{\left | 2\cdot (3)+2\cdot (4)-4 \right |}{\sqrt{2^2+2^2}}-\sqrt{9} \\ dist(O_{c},\,\ell) &= \frac{\left | 10 \right |}{\sqrt{8}}-3 \\ dist(O_{c},\,\ell) &= 0.54 \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #17
17. april 2020 af ringstedLC

#16: Rettelse:

$\begin{align*} dist(P,\,\ell) &= \frac{\left | ax_{0}+by_{0}+c\right |}{\sqrt{a^2+b^2}} \;,\;P=(x_{0},y_{0})\;,\;\overrightarrow{n_{\ell}}=\binom{a}{b} \\ dist(C,\,\ell) &= dist(O_{c}\,\ell)-r \\ dist(C,\,\ell) &= \frac{\left | 2\cdot (3)+2\cdot (4)-4 \right |}{\sqrt{2^2+2^2}}-\sqrt{9} \\ dist(C,\,\ell) &= \frac{\left | 10 \right |}{\sqrt{8}}-3 \\ dist(C,\,\ell) &= 0.54 \end{align*}$

Svar #18
17. april 2020 af Ladora (Slettet)

Tusind tak! Jeg er meget taknemlig over at du gider at bruge tid på at jeg kan lære matematikkens kompleksitet. Jeg værdsætter det virkelig meget!

Skriv et svar til: Hjælp til cirklen og tangent

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.