Matematik

Vis, at (a,b)^T er et punkt på cirlen

16. april 2020 af Mathias7878 - Niveau: Universitet/Videregående

Lad M være en samling af punkter

$$M=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 0\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}$.$

Punkteren på en cirkel med radius r og centrum i $(a,b)^T \in \mathbb{R}^2$ er beskrevet som løsningerne til ligningen

$(X-a)^2 + (Y-b)^2 = r^2$

hvilket er ækvivalent med

$2aX + 2bY + (r^2-a^2-b^2) = X^2 + Y^2$

Sæt nu

$v=\begin{pmatrix} 2a\\2b \\r^2-a^2-b^2 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3$

og vis, at $(\alpha , \beta) \in \mathbb{R}^2$ er et punkt på cirklen hvis og kun hvis $\begin{pmatrix} \alpha & \beta & 1 \end{pmatrix}\cdot v=\alpha^2+\beta^2$ .

Jeg har vist den ene vej ved at antage, at $(\alpha , \beta) \in \mathbb{R}^2$ er et punkt på cirklen og vist, at det medfører, at $\begin{pmatrix} \alpha & \beta & 1 \end{pmatrix}\cdot v=\alpha^2+\beta^2$ ved

$\begin{pmatrix} \alpha & \beta & 1 \end{pmatrix} \cdot v = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2a \\ 2b \\ r^2-a^2-b^2 \end{pmatrix} = 2a\alpha + 2b\beta + \left(r^2-a^2-b^2 \right) = \alpha^2 + \beta^2$

men jeg har lidt svært ved den anden vej. Jeg ved at jeg skal antage det modsatte i forhold til overstående, men ved ikke rigtigt, hvordan jeg kommer videre. Jeg har spurgt på math stackexchange, hvor jeg normaltvis får svar, men ikke denne gang. Kan I hjælpe mig, hvordan jeg viser den anden vej?

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. april 2020 af swpply (Slettet)

Lad $\begin{align*} (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 \end{align*}$ for hviken der gælder at

$\begin{align*} \alpha^2 + \beta^2 &= \begin{pmatrix}\alpha & \beta & 1\end{pmatrix}\cdot v \\ &=2a\alpha + 2b\beta + r^2-a^2-b^2 \\ &\Updownarrow \\ r^2 &= \alpha^2 - 2a\alpha + a^2 + \beta^2 - 2b\beta + b^2 \\ &= (\alpha-a)^2 + (\beta - b)^2 \end{align*}$

Dermed har vi vist at $\begin{align*} (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 \end{align*}$ er et punkt på cirklen med radius $\begin{align*} r>0 \end{align*}$ og centrum i $\begin{align*} (a,b)\in\mathbb{R}^2 \end{align*}$ .

Lad os nu vise den modsate implikation. Lad $\begin{align*} (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 \end{align*}$ være et punkt på cirklen med radius $\begin{align*} r>0 \end{align*}$ og centrum i $\begin{align*} (a,b)\in\mathbb{R}^2 \end{align*}$ . Da har vi at

$\begin{align*} r^2 = (\alpha - a)^2 + (\beta - b)^2 \quad\Leftrightarrow\quad \alpha^2 + \beta^2 &= 2a\alpha + 2b\beta + r^2 - a^2 - b^2 \\ &= \begin{pmatrix}\alpha&\beta&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2a\\2b\\r^2-a^2-b^2\end{pmatrix} \end{align*}$

og dermed har vi vist at $\begin{align*} (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 \end{align*}$ opfylder at $\begin{align*} \alpha^2 + \beta^2 = \begin{pmatrix}\alpha&\beta&1\end{pmatrix} \cdot v \end{align*}$ . Hvilket var hvad vi ønsket at vise (Q.E.D.)

Svar #2
16. april 2020 af Mathias7878

Mange tak for hjælpen :)

- - -

Skriv et svar til: Vis, at (a,b)^T er et punkt på cirlen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.