Matematik

Diskret matematik og linjeelementer

17. april 2020 af mmmo - Niveau: A-niveau

Jeg sidder med en opgave og prøver at få den løst, men er usikker på om det er overhovedet rigtig.

I a skal man ikke først finde ligning til det fuldstændige løsning?

Vh en meget desperat elev

Vedhæftet fil: Opgave 3.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. april 2020 af swpply (Slettet)

Brugbart svar (2)

Svar #2
17. april 2020 af swpply (Slettet)

Ja, i delopgave a) beder de om linjeelementerne (x, y; α) = (x, y(x); y'(x)) i punkterne A, B og C.

Du har eksempelvist at linjeelementet i punktet B(1, 4.2) er givet ved (1, 4.2; 3.2) idet at y'(1) = 0.0016*y(1)*(475-y(1)) = 0.0016*4.2*(475-4.2) = 3.16

Svar #3
17. april 2020 af mmmo

Tusind, tusind tak swpply! Jeg prøver at lave b'eren nu, og har en general formel for Eulers ligning : y(n+1)=yn*h+g(yn), så på g(yn)'s plads skal jeg sætte ligningen fra opgaveformuleringen - 0.0016*y(475-y)? Er skridtlængden afstanden mellem punkter eller 1.98?

Brugbart svar (2)

Svar #4
17. april 2020 af swpply (Slettet)

Du har at Eulers metode er givet vet

$\begin{align*} y_{n+1} = y_n + h\cdot f(y_n) \end{align*}$

hvor at

$\begin{align*} f(y_n) = ay_n (b - y_n) \end{align*}$

og $\begin{align*} (a,b) = (0.0016,475) \end{align*}$ .

Altså er svaret

$\begin{align*} y_{n+1} = ahy_n\bigg(\frac{1+abh}{ah}-y_n\bigg)\end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
17. april 2020 af swpply (Slettet)

#3
Er skridtlængden afstanden mellem punkter eller 1.98?

Skridtlængden $h$ er præcist hvad du ønsker den at være, dvs. eks. 1, 0.0001 eller 426. Det er selvfølgelig klart at jo mindre en skridtlængde du vælger, jo mere præcist vil Eulers metode generalt stemme overens med den eksakte løsning af differentialligningen. Men præcision har selvfølgelig en pris. Jo mindre en skridt længde jo flere beregninger skal du lave. Ændre du eks. skridtlængden fra 1 til 0.1 og ønkser at kende y(1) givet y(0) skal du istedet for at lave én enkelt fremskrivning med Eulers metode nu lave 10 gentagende fremskrivninger med Eulers metode.

Jeg vil dog mene at opgaveformuleringen her ligger optil at du benytter en skridt længde på 1, altså $h=1$ .

De 1.98 du har fra opgavformuleringen er begyndelsesbetngelsen, altså y(0) = 1.98. Hvilket oversat til Eulers metode bliver y₀ = 1.98.

Svar #6
17. april 2020 af mmmo

Jeg følger med på det du skrev om Eulers ligning, men er lidt usikker på den sammenlagte ligning. Du sætter ligningen for f(yn) ind i Eulers ligning? Hvor kommer 1 tallet fra og er der egentlig både aog h inde i parantesen?

$y[n + 1] = y[n] + h*f(y[n]) -> y[n + 1] = y[n] + h a y[n] (b - y[n]) ->y[n + 1] = y[n] (1 + h a (b - y[n]))$

Brugbart svar (2)

Svar #7
17. april 2020 af swpply (Slettet)

Dine udregninger helt korrekt.

Husk, der er ikke kun én korrekt måde at angive rekursionsligningen på. Dit resultat er altså lige så godt som mit. Det er blot en subjektiv smagssag hvad man fortrækker.

$\begin{align*} y_n &= y_n\big(1+ha(b-y_n)\big) \\ &= ahy_n\bigg(\frac{1}{ah}+b-y_n\bigg) \\ &= ahy_n\bigg(\frac{1+abh}{ah}-y_n\bigg) \end{align*}$

Altså ser du at dit udtryk i #6 er ligeså korrekt som mit fra #4. Ligeledes er

$\begin{align*} y_n = (1+abh)y_n - ahy_n^2 \end{align*}$ .

Det er optil dig hvad du skønner er mest æstetisk eller praktisk for senere burg.

Svar #8
17. april 2020 af mmmo

Nå okay, nu er jeg helt med. Tusind tusind tak for hjælpen :))))))))))))))

Skriv et svar til: Diskret matematik og linjeelementer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.