Matematik

Forklaring / mellemregning til resultat af integral søges! :)

14. juni 2020 af eleviMatematikNød - Niveau: A-niveau

Hej Studieportalen

Jeg skal til eksamen i morgen. Jeg troede, jeg havde styr på min analyse - men det viser sig, at jeg ikke helt forstår aller sidste step:

[\int] rmin / ((x2+rmin)3/2) dx = 2/rmin

Hvordan kommer x væk og hvor kommer 2-tallet fra?
Håber nogen kan hjælpe :)

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2020-06-14 kl. 14.24.45.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. juni 2020 af Soeffi

#0.

Svar #2
14. juni 2020 af eleviMatematikNød

#1
#0.

Hej Soeffi

Jeg forstår ikke helt, hvad du mener med 0?

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. juni 2020 af Soeffi

#2.

Hvad er det ved formlen, som du ikke forstår.

Svar #4
14. juni 2020 af eleviMatematikNød

Hej igen :D

Jeg forstår ikke, hvorfor integralet giver resultatet - er det fordi det er en indre funktion? sådan hvordan ville man lave en mellemregning til resultatet i hånden?

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. juni 2020 af Soeffi

#4. Du har at...

$\int_{-t}^{t}\frac{r_{min}}{(x^2+r^2_{min})^{3/2}}dx=\frac{2}{r_{min}}\cdot \frac{t}{\sqrt{t^2+r^2_{min}}}\rightarrow \frac{2}{r_{min}},\; for \; t \rightarrow \infty$

Svar #6
14. juni 2020 af eleviMatematikNød

Arh ok - forstod bare ikke de der uendelighedstegn så, vil jeg tro.

Så det er fordi, at x²+r_min² er den indre funktion og den ydre x^-^3/2 den ydre. Så diffenrentierer man den indre ift. den ydre, hvilket giver 2x - hvoraf du skriver x som t ovenfor ik? og så integrerer man den ydre som så giver x^-1/2, dvs. 1/sqr(x²+r_min²), hvoraf 2 og x så splittes i hver sin tæller som jeg forstår - men hvordan får man r_min i nævner efter integrering?

Brugbart svar (0)

Svar #7
14. juni 2020 af Soeffi

#6. Stamfunktionen findes på følgende måde:

$\int \frac{r}{(x^2+r^2)^{3/2}}\;dx=\int \frac{r^{-2}}{((x/r)^2+1)^{3/2}}\;dx$

x = r·tan(u), u = arctan(x/r) og dx = r·(1/cos²(u))·du

$\int \frac{r^{-2}}{(tan^2(u)+1)^{3/2}}\;\cdot \frac{r}{cos^2(u)}\;du=r^{-1}\cdot \int \frac{1}{\left ( \frac{sin^2(u)}{cos^2(u)}+\frac{cos^2(u)}{cos^2(u)}\right )^{3/2}}\;\cdot \frac{1}{cos^2(u)}\;du=$

$r^{-1}\cdot \int \frac{1}{\left ( \frac{1}{cos^2(u)}\right )^{3/2}}\;\cdot \frac{1}{cos^2(u)}\;du=r^{-1}\cdot \int cos(u)\;du=$

$r^{-1}\cdot sin(u)=r^{-1}\cdot sin(arctan(x/r))=r^{-1}\cdot \frac{x/r}{\sqrt{1+(x/r)^2}}=\frac{x}{r\cdot \sqrt{r^2+x^2}}$

Svar #8
14. juni 2020 af eleviMatematikNød

Tusindtak for hjælpen!

Skriv et svar til: Forklaring / mellemregning til resultat af integral søges! :)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.