Matematik

Bestemme a så gradienten er en enhedsvektor:

01. oktober kl. 11:29 af BiokemiNørd - Niveau: Universitet/Videregående

Hej! 

Jeg sidder med en opgave der lyder:

Bestem det positive tal a som opfylder at ∇f(a, 5/2) er en enhedsvektor. Skrive dit svar, et helt tal mellem 0 og 99.

Funktionen lyder: f(x,y)=2x3+y2-24x-6y+5

Jeg kan virkelig ikke se, hvordan længden af en vektor kan blive 1 (som en enhedsvektor), når det ene koordinat er 5/2 (altså større end 1).

Hele opgaven er vedhæftet.


Brugbart svar (0)

Svar #1
01. oktober kl. 11:58 af Anders521

#0 Der gættes på, at svaret er a = 4.


Brugbart svar (1)

Svar #2
01. oktober kl. 12:05 af Anders521

#0 Du har gradienten ∇f(x,y) = [(6x2-24), (2y-6)]T. Dermed er ∇f(a,(5/2)) =[(6a2-24), (2·(5/2)-6)]T og størrelsen a bestemmes ved ligningen                                                                                                                                                                                                     1 = √[ (6a2-24)2 + (2·(5/2)-6)]


Brugbart svar (1)

Svar #3
01. oktober kl. 12:17 af mathon

\small \begin{array}{lllll}& \nabla=\begin{pmatrix} 6x^2-24\\2y-6 \end{pmatrix}\\\\& \nabla\left(a,\frac{5}{2}\right)=\begin{pmatrix} 6a^2-24\\ 2\cdot \frac{5}{2}-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6a^2-24\\ -1 \end{pmatrix}\\\\& \left | \nabla(a,\frac{5}{2}) \right |=\sqrt{(6a^2-24)^2+(-1)^2}=\sqrt{36a^4-288a^2+577}=\sqrt{36z^2-288x+577}=1\quad\textup{ med } z=a^2\\\\ \textup{enhedsvektor}\\ \textup{kr\ae ver:}&36z^2-288x+577=1\\\\& 36z^2-288x+576=0\\\\& z^2-8z+16=0\\\\& (z-4)^2=0\\\\& z=4\\\\& z=a^2=4\\\\& a=\left\{\begin{array}{lll}-2&\textup{som er \textbf{u}\o nsket}\\2 \end{array}\right.\\\\ \textup{dvs}&\nabla_e=\begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \end{array}


Svar #4
01. oktober kl. 15:51 af BiokemiNørd

#3

\small \begin{array}{lllll}& \nabla=\begin{pmatrix} 6x^2-24\\2y-6 \end{pmatrix}\\\\& \nabla\left(a,\frac{5}{2}\right)=\begin{pmatrix} 6a^2-24\\ 2\cdot \frac{5}{2}-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6a^2-24\\ -1 \end{pmatrix}\\\\& \left | \nabla(a,\frac{5}{2}) \right |=\sqrt{(6a^2-24)^2+(-1)^2}=\sqrt{36a^4-288a^2+577}=\sqrt{36z^2-288x+577}=1\quad\textup{ med } z=a^2\\\\ \textup{enhedsvektor}\\ \textup{kr\ae ver:}&36z^2-288x+577=1\\\\& 36z^2-288x+576=0\\\\& z^2-8z+16=0\\\\& (z-4)^2=0\\\\& z=4\\\\& z=a^2=4\\\\& a=\left\{\begin{array}{lll}-2&\textup{som er \textbf{u}\o nsket}\\2 \end{array}\right.\\\\ \textup{dvs}&\nabla_e=\begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \end{array}

Wow tak! Føler mig lidt dumt lige nu, at det var så indlysende...


Svar #5
01. oktober kl. 15:52 af BiokemiNørd

#2

#0 Du har gradienten ∇f(x,y) = [(6x2-24), (2y-6)]T. Dermed er ∇f(a,(5/2)) =[(6a2-24), (2·(5/2)-6)]T og størrelsen a bestemmes ved ligningen                                                                                                                                                                                                     1 = √[ (6a2-24)2 + (2·(5/2)-6)]

Tak!!


Skriv et svar til: Bestemme a så gradienten er en enhedsvektor:

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.