Matematik

Bestemme a så gradienten er en enhedsvektor:

01. oktober 2020 af BiokemiNørd (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej!

Jeg sidder med en opgave der lyder:

Bestem det positive tal a som opfylder at ∇f(a, 5/2) er en enhedsvektor. Skrive dit svar, et helt tal mellem 0 og 99.

Funktionen lyder: f(x,y)=2x³+y²-24x-6y+5

Jeg kan virkelig ikke se, hvordan længden af en vektor kan blive 1 (som en enhedsvektor), når det ene koordinat er 5/2 (altså større end 1).

Hele opgaven er vedhæftet.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2020-10-01 kl. 11.29.07.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. oktober 2020 af Anders521

#0 Der gættes på, at svaret er a = 4.

Brugbart svar (1)

Svar #2
01. oktober 2020 af Anders521

#0 Du har gradienten ∇f(x,y) = [(6x²-24), (2y-6)]^T. Dermed er ∇f(a,(5/2)) =[(6a²-24), (2·(5/2)-6)]^T og størrelsen a bestemmes ved ligningen 1 = √[ (6a²-24)² + (2·(5/2)-6)²]

Brugbart svar (2)

Svar #3
01. oktober 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll}& \nabla=\begin{pmatrix} 6x^2-24\\2y-6 \end{pmatrix}\\\\& \nabla\left(a,\frac{5}{2}\right)=\begin{pmatrix} 6a^2-24\\ 2\cdot \frac{5}{2}-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6a^2-24\\ -1 \end{pmatrix}\\\\& \left | \nabla(a,\frac{5}{2}) \right |=\sqrt{(6a^2-24)^2+(-1)^2}=\sqrt{36a^4-288a^2+577}=\sqrt{36z^2-288x+577}=1\quad\textup{ med } z=a^2\\\\ \textup{enhedsvektor}\\ \textup{kr\ae ver:}&36z^2-288x+577=1\\\\& 36z^2-288x+576=0\\\\& z^2-8z+16=0\\\\& (z-4)^2=0\\\\& z=4\\\\& z=a^2=4\\\\& a=\left\{\begin{array}{lll}-2&\textup{som er \textbf{u}\o nsket}\\2 \end{array}\right.\\\\ \textup{dvs}&\nabla_e=\begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \end{array}$

Svar #4
01. oktober 2020 af BiokemiNørd (Slettet)

#3
$\small \begin{array}{lllll}& \nabla=\begin{pmatrix} 6x^2-24\\2y-6 \end{pmatrix}\\\\& \nabla\left(a,\frac{5}{2}\right)=\begin{pmatrix} 6a^2-24\\ 2\cdot \frac{5}{2}-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6a^2-24\\ -1 \end{pmatrix}\\\\& \left | \nabla(a,\frac{5}{2}) \right |=\sqrt{(6a^2-24)^2+(-1)^2}=\sqrt{36a^4-288a^2+577}=\sqrt{36z^2-288x+577}=1\quad\textup{ med } z=a^2\\\\ \textup{enhedsvektor}\\ \textup{kr\ae ver:}&36z^2-288x+577=1\\\\& 36z^2-288x+576=0\\\\& z^2-8z+16=0\\\\& (z-4)^2=0\\\\& z=4\\\\& z=a^2=4\\\\& a=\left\{\begin{array}{lll}-2&\textup{som er \textbf{u}\o nsket}\\2 \end{array}\right.\\\\ \textup{dvs}&\nabla_e=\begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \end{array}$

Wow tak! Føler mig lidt dumt lige nu, at det var så indlysende...

Svar #5
01. oktober 2020 af BiokemiNørd (Slettet)

#2
#0 Du har gradienten ∇f(x,y) = [(6x²-24), (2y-6)]^T. Dermed er ∇f(a,(5/2)) =[(6a²-24), (2·(5/2)-6)]^T og størrelsen a bestemmes ved ligningen 1 = √[ (6a²-24)² + (2·(5/2)-6)²]

Tak!!

Skriv et svar til: Bestemme a så gradienten er en enhedsvektor:

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.