Ikke homogen lineær rekursion ligning

#0.



#0.

a) Opskriv rekursionsligningen som: x_n - 4·x_n-1 + 3·x_n-2 = 5·n + 6.

Gæt på en løsning på formen: x(n) = a·n² + b·n + c. (x(n) = a·n + b dur ikke).

Følg i øvrigt: https://mjo.osborne.economics.utoronto.ca/index.php/tutorial/index/1/sod/t.

Du må da have fået noget om løsningsmetoder for differeceligninger når du har fået sådan en opgave.

Du skal starte med at finde det karakteristiske polynomium og dernæst finde dets rødder

Se i det materiale du har fået eller se https://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation

#2 jeg har gættet på x(n) = a·n + b men den virker ikke,,

Jeg har gætter på x(n) = a·n² + b·n + c  så får jeg meget komplex udtryk.!

#4. Jeg har gætter på x(n) = a·n² + b·n + c  så får jeg meget komplex udtryk.!

Jeg får dette:

#5 hvad mener du med Udført x(n) = a n² +bn +c ..Du mener skal jeg finde rødderne nemlige n ?

skal jeg sætter den fundet a og b i ligning an² +bn +c ?? .. hvad med c værdien ,,hvad skal jeg gøre ved den ?

Du gætter jo bare i stedet for at læse hvordan man finder løsningen og løsningerne er ikke polynomier men eksponentalfunktioner.

Sæt y_n = c*kⁿ Hvis du sætter det ind i differensligningen kommer dufrem til at k er løsningen til et 2. grads polyninomium( kaldet det karakteristiske polynomium) løs så denne..

Du kan sammenligne med differentialligningen a*y'' + b*y' +c*y = f(x). Der faktisk megen ligheder mellem differentialligninger og differensligninger

#6. At løse rekursionsligningen: x_n = 4·x_n-1 - 3·x_n-2 + 5·n + 6 betyder, at finde en funktion x(n), så x(n) - 4·x(n-1) + 3·x(n-2) = 5·n + 6. Her er samlet alle led, der indeholder x(n) på venstre side af lighedstegnet. Dette er den homogene del af rekursionsligningen. Den  inhomogene del står på højre side.

Man gætter på en løsning af samme form som den inhomogene del dvs. et førstegradspolynomium: x(n) = a·n + b. Man får ved indsættelse: x(n)-4·x(n-1)+3·x(n-2) = a·n+b-4·(a·(n-1)+b)+3·(a·(n-2)+b). Man samler led, der indeholder n og led, der ikke gør: a·n+b-4·(a·(n-1)+b)+3·(a·(n-2)+b) = -2a. Det faktum, at der ikke er noget led, der indeholder n, betyder at et førstegradspolynomium ikke kan være en løsning.

Man prøver i stedet med et andengradspolynomium: x(n) = a·n² + b·n + c. Man indsætter dette i den homogene ligning:

x(n) - 4·x(n-1) + 3·x(n-2) = 

a·n² + b·n + c - 4·(a·(n-1)² + b·(n-1) + c) + 3·(a·(n-2)² + b·(n-2) + c) =

-4a·n + (8a - 2b).

Dette er lig med 5n + 6, når a = -5/4, b = -8 og c ∈ R. Man vælger herefter c = 0, da man kun er bedt om een løsning.

Det er da heller ikke en løsnig. Du kan bare se på det og sammenligne med hvad det skulle være. Du kan jo også ulejlige dig med at gøre prøve

#8. Dvs. en løsning til den inhomogene rekursionsligning er: x(n) = (-5/4)·n² - 8·n

Prøve i sidste linje:

se 2 linje for hvilket a, b og c er det identisk 0

# 8, 10

1000 Tak for Soeffi .Tak for at du har givet dig tid til en god forklaring .Nu forstår jeg bedre  gæt metode og hvordan man indtaste i selv homogen ligning for at tjekke svar.

Det er løsningen til den inhomogene ligning du finder. Løsningen til den homogene løsning kan i finde ved at indsætte x(n) = c*kⁿ