Matematik

Differentialligning af 1. orden

08. november 2020 af Mariassssssss - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, 

Jeg har svært ved at løse dette regnestykke. Kan ikke gemmeskue hvad jeg skal. Vil gerne forstå det og ikke bare få et svar, hvis nogle kan hjælpe.

Vedhæftet fil: HJælp 11.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. november 2020 af Anders521

#0 Meningen er at angive den specifkke løsning til den givne differentialligning, dvs. x0(t).

Vi er givet to oplysninger: en lineær differentialligning af 1. orden 

                                                                 x '(t) + 2t· x(t) = q(t)

samt integralet ∫ exp(t2)·q(t) = (3+t)·exp(t2).

P.t. er det uvist hvilken rolle integralet spiller, og derfor koncentrerer vi os hellere om ligningen. Vi hiver lærebogen eller noten om differentialligninger frem, og bemærker en sætning

Hvis

(*)                                                           dx(t)/dt = f(t,x(t)) = P(t)·x(t) + Q(t)

er en lineær vektordifferentialligning af 1. orden, hvor (t,x(t)) ∈ U =I×Rn, vil der til ethvert punkt (t0, x(t0)) ∈ U findes en og kun en maksimal løsning ζ:→ I×Rn til (*) , så betingelsen ζ(t0) =  x(t0) er opfyldt.

Skriver vi vores differentialligningen med samme ledstilling som i (*). opdager vi, at P(t) = -2t og Q(t) = q(t). Fra forrige sider i vores bog/noter ved vi, at disse er kontinuerte og defineret på et åbent interval I ⊆ R, hvorfor f.eks. at de skal være kontinuerte, vides endnu ikke. Men er vi desuden heldige at finde et gennemgået eksempel hvor n = 1, vil løsningen dertil være givet ved

                                                x(t) = exp(- ∫P(t) dt )·[ C + exp(∫P(t)dt)·Q(t) dt ]

Okay nu giver det mening, at P og Q skal være kontinuerte - således at de kan integreres. Tænker vi tilbage på vores gymnasiematematik, så har vi faktisk stødt på denne løsning og den tilhørende differentialligning. Vores matematiklærer kaldte løsningen for "panserformlen". Så denne type ligning og løsning er .. bekendt!. 

Stirrer vi på udtrykket exp(∫P(t)dt)·Q(t) i løsningen tilstrækkelig længe, vil vi opdage, at det svarer til integralet givet i opgaven, dvs.  ∫ exp(t2)·q(t), hvor t2 = ∫P(t) dt. Så dette er integralets rolle. Vi kan nu bestemme den maksimale løsning til vores differentialligning:

                                                    x(t) = exp (-∫P(t) dt) ·[ C + exp(∫P(t)dt)·Q(t) dt ]                                                                                                           = exp (t2) ·[ C +  ∫ exp(t2)·q(t) dt ]                                                                                                                           = exp (t2) ·[ C +  ∫ exp(t2)·q(t) dt ]                                                                                                                           = exp (t2) ·[ C +  (3+t)·exp(t2) ]                                                                   Det sidste udtryk er så den maksimale løsning. For at bestemme den partikulære løsning såldes, at betingelsen x(0) = 12 er opfyldt sætter vi vores udtrykket til at være lig 12, og deri skal vi have t = 0. Løser vi denne ligning mht. C får vi C = 9. Altså er den efterspurgte løsning givet ved

                                                           x0(t) = exp (t2) · [ 9 +  (3+t)·exp(t2) ]. 

                                                                    


Skriv et svar til: Differentialligning af 1. orden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.