Matematik

Find en ligning for tangenten til cirklen

23. november 2020 af petbau - Niveau: B-niveau

Hej

Jeg sidder med følgende opgave.

En cirkel har centrum i C(1,2) og går gennem punktet P(4,6)

a) Bestem en ligning for tangenten til cirklen i punktet P.

b) Gør rede for, at cirklen er bestemt ved ligningen: x2-2x+y2-4y=20

Umiddelbart virker b) lige til. Hvis jeg slår ligningen for en cirkel op i en formelsamling fås:

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

a=1, b=2, x= 4, y = 6

(4-1)^{2}+(6-2)^{2}=5^{2}

Det giver en radius på 5, hvilket passer med min skitse.

Men hvordan løser jeg a) ? er en cirkel differentiabel eller skal jeg lave nogle begrænsninger i definitionsmængden?

Tangentligningen er : y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)

Jeg ved ikke, om ligningen for cirklen kan omskrives, således at y udtrykkes som x og dernæst indsættes i ligningen for cirklen, hvorefter x isoleres??

Er der én, der kan hjælpe


Brugbart svar (0)

Svar #1
23. november 2020 af AMelev

\overrightarrow{PC} er normalvektor til tangenten og P er et punkt på den. Beregn PC-vektor og indsæt i linjens ligning.


Brugbart svar (0)

Svar #2
23. november 2020 af mathon

            \small \small \begin{array}{llllll} \textup{Cirklen:}&(x-1)^2+(y-2)^2=5^2\\ \textup{har i punktet} \left (x_o,y_o\right) \\ \textup{tangentligningen:}\\& \left (x_o-1 \right )\cdot \left (x-1 \right )+\left (y_o-2 \right )\cdot \left (y-2 \right )=5^2\\\\ \textup{Aktuelt:}\\& \left (4-1 \right )\cdot \left (x-1 \right )+\left (6-2 \right )\cdot \left (y-2 \right )=25\\\\& 3(x-1)+4(y-2)=25\\\\& 3x-3+4y-8=25\\\\& 3x+4y-36=0\\ \textup{eller }\\ \textup{p\aa \ formen:}\\& y=-\frac{3}{4}x+9 \end{array}


Svar #3
24. november 2020 af petbau

Er PC-vektor -2 og 4?


Brugbart svar (0)

Svar #4
24. november 2020 af mathon

                              \small \overrightarrow{PC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4\\6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\-4 \end{pmatrix}


Brugbart svar (0)

Svar #5
25. november 2020 af mathon

              \small \small \small \begin{array}{lllll} \textup{En retningsvektor}\\ \textup{for tangenten i }P(4,6)\\ \textup{er:}&\overrightarrow{r}=\begin{pmatrix} x-4\\y-6 \end{pmatrix}&\textup{for et vilk\aa rligt punkt }P(x,y)\\&&\textup{p\aa \ tangenten.}\\\\ \textup{En normalvektor}\\ \textup{for tangenten i }P(4,6)\\ \textup{er:}&\overrightarrow{n}=\overrightarrow{PC}=\begin{pmatrix} -3\\-4 \end{pmatrix}\\\\ \textup{P\aa \ grund af ortogona-}\\ \textup{liteten g\ae lder:}&\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{r}=0\\\\ \textup{hvoraf }\\ \textup{tangentligningen:}&\begin{pmatrix} -3\\-4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-4\\y-6 \end{pmatrix}=0\\\\& -3x+12-4y+24=0\\\\\\& 3x+4y-36=0 \end{array}


Svar #6
30. november 2020 af petbau

Hej Mathon

Tak for din hjælp. Jeg er nødt til at læse mere om vektorer, for at forstå dette ordentligt.

vh Peter


Skriv et svar til: Find en ligning for tangenten til cirklen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.