Matematik

Bestem cos(v) udtryk ved t, når v = vinklen mellem (vektor r(t),vektor r'(t))

10. december 2020 af emiltimmermann (Slettet) - Niveau: A-niveau

har brug for hjælp til denne opgave ASAP.

vektor r(t) er givet ved t*(cos(t),sin(t))

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. december 2020 af janhaa

Brugbart svar (1)

Svar #2
10. december 2020 af Capion1

$r'(t)=\binom{-t\sin t+\cos t}{t\cos t+\sin t}$
Da siger vi:

$\cos v=\frac{\boldsymbol{r\cdot \boldsymbol{r'}}}{|\boldsymbol{r}|\cdot |\boldsymbol{r'|}}$ Indsæt heri vektorerne udtrykt ved t .

Brugbart svar (1)

Svar #3
10. december 2020 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} \overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} t\cdot \cos(t)\\ t\cdot \sin(t) \end{pmatrix}\\\\ \overrightarrow{r}{\, }'(t)=\begin{pmatrix} \cos(t)-t\cdot \sin(t)\\ \sin(t)+t\cdot \cos(t) \end{pmatrix}\\\\ \cos(v)=\frac{\overrightarrow{r}(t)\cdot\overrightarrow{r}{\, }'(t) }{\left | \overrightarrow{r}(t) \right |^2 }\\\\ \cos(v)=\frac{\bigl(\begin{smallmatrix} t\cdot \cos(t)\\ t\cdot \sin(t) \end{smallmatrix}\bigr)\cdot \bigl(\begin{smallmatrix} \cos(t)-t\cdot \sin(t)\\ \sin(t)+t\cdot \cos(t) \end{smallmatrix}\bigr)}{t^2}=\frac{\cos^2(t)\cdot t-\sin(t)\cos(t)\cdot t^2+\sin^2(t)\cdot t+\sin(t)\cos(t)\cdot t^2}{t^2}=\frac{t\cdot \left ( \cos^2(t)+\sin^2(t) \right )}{t^2}\\\\ \cos(v)=\frac{1}{t} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. december 2020 af mathon

korrektion:

$\small \begin{array}{llllll} \overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} t\cdot \cos(t)\\ t\cdot \sin(t) \end{pmatrix}\\\\ \overrightarrow{r}{\, }'(t)=\begin{pmatrix} \cos(t)-t\cdot \sin(t)\\ \sin(t)+t\cdot \cos(t) \end{pmatrix}\\\\ \cos(v)=\frac{\overrightarrow{r}(t)\cdot\overrightarrow{r}{\, }'(t) }{\left | \overrightarrow{r}(t) \right |\cdot \left | \overrightarrow{r}{\, }'(t) \right | }\\\\ \cos(v)=\frac{\bigl(\begin{smallmatrix} t\cdot \cos(t)\\ t\cdot \sin(t) \end{smallmatrix}\bigr)\cdot \bigl(\begin{smallmatrix} \cos(t)-t\cdot \sin(t)\\ \sin(t)+t\cdot \cos(t) \end{smallmatrix}\bigr)}{t\cdot \sqrt{1+t^2}}=\frac{\cos^2(t)\cdot t-\sin(t)\cos(t)\cdot t^2+\sin^2(t)\cdot t+\sin(t)\cos(t)\cdot t^2}{t\cdot \sqrt{1+t^2}}=\frac{t\cdot \left ( \cos^2(t)+\sin^2(t) \right )}{t\cdot \sqrt{1+t^2}}\\\\ \cos(v)=\frac{1}{ \sqrt{1+t^2}} \end{array}$

Skriv et svar til: Bestem cos(v) udtryk ved t, når v = vinklen mellem (vektor r(t),vektor r'(t))

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.