Matematik

Binom ligning

05. januar 2021 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg arbejder med binom ligninger i komplekse tal lige pt, og jeg undre mig over: hvordan finder jeg argumentet, v, i $z=\sqrt[n]{r}e^{i(\frac{v}{n}+p\cdot \frac{2\pi}{n})}$ ?

Er der en formel, jeg har misset?

Jeg ved godt at $tan^{-1}(\frac{Im(z)}{Re(z)})$ angiver en vinkel, men lidt svært er det når man f.eks. har en binom ligning som hedder:

$z^{4}=-125$ eller $z^{2}=-4i$

Hvis nogen kan pege mig i den rigtige retning, enten med hjælp eller links, så vil jeg blive glad.

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. januar 2021 af peter lind

Nu må du huske på at trigonometrisk ligninger er flertydige. Hvis v er en løsning til tangens er v+π det også. Du må have en ligning til for at gøre den entydig på nær 2π

du kann bruge cos(v) = rea(x)/|z| eller sin(v) = im(z)/|z|

Svar #2
05. januar 2021 af louisesørensen2

Peter lind, har du evt. nogle råd til hvordan jeg løser:

$z^{4}=-125$

Først vil jeg vel beregne modulus: $|z|=\sqrt[4]{(-125)}$

Derefter vil jeg orienterer mig om at $-125$ er i 2. kvadrant, og derved skal jeg benytte mig af $arccos(\frac{Re(z)}{|z|})$ for at bestemme hovedargumentet

Også afslutningsvis indsætte den data i $\sqrt[n]{r}e^{i(\frac{v}{n}+p\frac{2\pi}{n})}$ , korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. januar 2021 af peter lind

Delvis korrekt. du skal også se på for eks. sin(v) = im(z)/r. Den er 0 så du får faktisk det korrekte

Svar #4
05. januar 2021 af louisesørensen2

Hmm.. Men hvorfor er jeg interesseret i sin(v)=im(z)/r?

Tror udfordringen netop er at skelne imellem hvornår jeg skal bruge for forskellige.

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. januar 2021 af peter lind

Hvis v er en lsning til cos(v) = t er -v også en løsning. Det kan du skelne mellem ved også at bruge sinus. Du kan selvfølgelig også se på hvilken kvadrant løsningen er i

Svar #6
05. januar 2021 af louisesørensen2

Ok.

Jeg forstår godt at hvis $z_0$ befinder sig i 1 og 2 skal jeg benytte $arccos(v)$ fordi den angiver intervallet $]-\pi,\pi]$

Og hvis løsningen befinder sig i 1 og 4 kvadrant skal jeg benytte $arcsin(v)$ da den angiver intervallet $]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$

Men hvad så hvis $z_0$ befinder sig i 3. kvadrant?

Brugbart svar (0)

Svar #7
05. januar 2021 af peter lind

I 3 kvadrant bliver sinus eller cosinus begge negative. Det nemmest er nok at bruge tangents og ligge π til. Du kan også benytte at sin(v) og så bruge at v er en løsning er π-v også en også en løsning. Tilsvarende findes en relation for cos(v) = cos(-v)

Svar #8
05. januar 2021 af louisesørensen2

Kan jeg få dig, som det sidste, til at lave et eksempel hvor du finder et argument i 3. kvadrant?

Jeg forsøgte selv med $z=-2-i\sqrt{3}$

$arcsin(\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{7}}) \bigwedge arctan(\frac{-\sqrt{3}}{-2})$

Og her fik jeg ikke særlig eksakte svar.

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. januar 2021 af peter lind

Hvad har du gjort for ikke at få eksakte svar. Du kan vel slå op på en lommeregner og derefter lægge π ti

Svar #10
05. januar 2021 af louisesørensen2

Jeg skal ikke kunne fortælle dig det. Både på GeoGebra og WordMat får jeg ikke eksakte svar selvom jeg har sat det til.

Nå ja, det vel lige fedt om man får det i et "pi-tal" eller i et radian-tal.

Brugbart svar (0)

Svar #11
05. januar 2021 af peter lind

Så vil jeg gætte på at den leverer for arctan et tal og tilføjer +pπ. Så skal du bare vælge p=1

Med et pi tal mener du måske noget som 2π/3 ??? Du kan ikke regne med at det bliver er pænt tal, så det kan du ikke i almindelighed

Skriv et svar til: Binom ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.