Matematik

Bevis for længden af vektorer ud fra sætning om projektion

10. marts 2021 af petbau - Niveau: B-niveau

Hej

I skrivende stund sidder jeg med et kompendie, hvor alt egentlig gik okay, lige indtil forfatteren trækker denne her op af hatten.

Jeg sidder med sætning $\vec{b}_{a}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\begin{vmatrix} \vec{a}\end{vmatrix}^{2}}\cdot \vec{a}$

,hvor de lige streger i nævneren betyder "længden"

Jeg bliver bedst om at vise at ovenstående sætning er lig med $\left | \vec{b}_{a} \right |=\frac{\left | \vec{a}\cdot \vec{b} \right |}{\left | \vec{a} \right |}$

Umiddelbart er den eneste forskel mellem de to sætninger, at den nederste er længder, hvor sidste led i første sætning, $\vec{a}$ divideret med $\left | \vec{a} \right |^{2}$ giver $\left | \vec{a} \right |$ i anden sætning. Men jeg ved ikke, hvordan jeg beviser det? Det ser ud som om, at jeg bare kan gå fra en vektor til en længde ??

Jeg skal dernæst vise ud fra den øverste sætning at : $\vec{b}_{a}=\left ( \vec{b}\cdot \vec{e} \right )\cdot \vec{e}$

Jeg er lost???? Er der en venlig matematiksjæk derude?

Peter

Brugbart svar (1)

Svar #1
10. marts 2021 af mathon

Koordinaten af $\small \overrightarrow{b}$ 's projektion på
$\small \overrightarrow{a}$ er
$\small \begin{array}{llllll}& \left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \cos(v)\qquad \textup{hvor }v \text{ er vinklen mellem }\overrightarrow{a} \textup{ og }\overrightarrow{b}\\\\& \left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \cos(v)= \left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \frac{\overrightarrow{a}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}\cdot \frac{\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}\\\\& \textup{da skalarproduktet mellem to enhedsvektorer er lig med cosinus til vinklen}\\& \textup{mellem dem.} \\\\ \textup{Projektionsvektoren er:}\\& \left (\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |} \right )\cdot \frac{\overrightarrow{a}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |^2}\cdot \overrightarrow{a} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
10. marts 2021 af AMelev

#0 Den første kanin, der bliver trukket op af hatten er projektionsformlen FS side 12 (55), og det, du skal vise, er (56).

$\vec{b}_{a}={\color{Red} \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\begin{vmatrix} \vec{a}\end{vmatrix}^{2}}}\cdot \vec{a}= {\color{Red} t} \cdot \vec a,$ hvor ${\color{Red} \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\begin{vmatrix} \vec{a}\end{vmatrix}^{2}}}= {\color{Red} t}$ er et tal

I det følgende har her jeg brugt |...| for numerisk værdi (af tal) og ||...|| for længde (af vektor), så det er lettere at skelne.

Iflg. FS side 10 (46) er ${\color{Red} t}\cdot \vec a=\binom{{\color{Red} t}\cdot a_1}{{\color{Red} t}\cdot a_2}$ og iflg. (45) er så

$\left \| {\color{Red} t}\cdot \vec a \right \|^2=\left ( {\color{Red} t}\cdot a_1 \right )^2+\left ({\color{Red} t}\cdot a_2 \right )^2= {\color{Red} t}^2\cdot (a_1^2+a_2^2)={\color{Red} t}^2\cdot \left \| \vec a \right \|^2\Rightarrow$
$\left \| {\color{Red} t}\cdot \vec a \right \|=\sqrt{{\color{Red} t}^2\cdot \left \| \vec a \right \|^2}= \left |{\color{Red} t} \right | \cdot \left \| \vec a| \right \|$
Så får du $\left \| \vec{b}_{a} \right \|=\left \| {\color{Red} \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left \| \vec a \right \|^{2}}}\cdot \vec{a} \right \|= \left | {\color{Red} \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}} {\left \| \vec a \right \|^{2}}} \right |\cdot \left \| \vec{a} \right \| = {\color{Red} \frac{\left | \vec{a}\cdot \vec{b} \right |} {\left \| \vec a \right \|^{2}}} \cdot \left \| \vec{a} \right \|= {\color{Red} \frac{\left | \vec{a}\cdot \vec{b} \right |} {\left \| \vec a \right \|}}$ (56)

Brugbart svar (1)

Svar #3
10. marts 2021 af mathon

som du kender det fra
$\small \overrightarrow{OP}=\left (\overrightarrow{OP}\cdot \textbf{i} \right )\cdot \textbf{i}+\left (\overrightarrow{OP}\cdot \textbf{j} \right )\cdot \textbf{j}$

Svar #4
12. marts 2021 af petbau

Tak for dit udførlige svar AMelev

Hvis jeg har forstået bare lidt af projektionsformlen, så er det, at den består af en konstant og en vektor.

Konstanten er prikproduktet divideret med længden af vektor a i anden. Dvs. en konstant ganget med vektor a. Men jeg har problemer med nedenstående:

En konstant, t, ganget med en vektor er: $t\cdot \vec{a}=\begin{pmatrix} t\cdot a_{1}\\ t\cdot a^{_{2}} \end{pmatrix}$ , så langt så godt.

og en konstant ganget længden af en vektor i anden, $\left \| t\cdot \vec{a} \right \|^{2}$ , kan skrives som $\left ( t\cdot a_{1} \right )^{2}+\left ( t\cdot a_{2} \right )^{2}$

$=t^{2}\cdot \left ( a_{1}+a_{2} \right )^{2}$ , det kan omskrives til konstanten t ganget med længden af vektor a i anden $=t^{2}\cdot \left \| \vec{a} \right \|^{2}$ (Hér har jeg problemer med at forstå det?? $\left ( a_{1}+a_{2} \right )^{2}=\left ( a_{1}+a_{2} \right )\cdot \left ( a_{1}+a_{2} \right )$ , giver det ikke $a_{1}^{2}+b_{2}^{2}+2a_{1}b_{1}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. marts 2021 af AMelev

#4
$\left ( t\cdot a_{1} \right )^{2}+\left ( t\cdot a_{2} \right )^{2}$

$=t^{2}\cdot \left ( a_{1}+a_{2} \right )^{2}$ , det kan omskrives til konstanten t ganget med længden af vektor a i anden $=t^{2}\cdot \left \| \vec{a} \right \|^{2}$ (Hér har jeg problemer med at forstå det?? $\left ( a_{1}+a_{2} \right )^{2}=\left ( a_{1}+a_{2} \right )\cdot \left ( a_{1}+a_{2} \right )$ , giver det ikke $a_{1}^{2}+b_{2}^{2}+2a_{1}b_{1}$

$\left ( t\cdot a_{1} \right )^{2}+\left ( t\cdot a_{2} \right )^{2}$ = $t\cdot \left ( a_{1}^2+ a_{2} ^2\right )$ ikke $t^{2}\cdot \left ( a_{1}+a_{2} \right )^{2}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
12. marts 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \left (t\cdot \overrightarrow{a} \right )^2=t^2\cdot \overrightarrow{a}^2=t^2\cdot \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=t^2\cdot \begin{bmatrix} a_1\\a_2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a_1\\a_2 \end{bmatrix}=t^2\cdot \left ( {a_1}^2+{a_2}^2 \right )=t^2\cdot {a_1}^2+t^2\cdot {a_2}^2 \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #7
12. marts 2021 af AMelev

#5
UPS! $\left ( t\cdot a_{1} \right )^{2}+\left ( t\cdot a_{2} \right )^{2}$ = $t{\color{Red} ^2} \cdot \left ( a_{1}^2+ a_{2} ^2\right )$ ikke $t^{2}\cdot \left ( a_{1}+a_{2} \right )^{2}$

Svar #8
16. marts 2021 af petbau

Tak for jeres hjælp.

Skriv et svar til: Bevis for længden af vektorer ud fra sætning om projektion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.