Matematik

potens y vokser med

17. marts 2021 af Guleroden1 - Niveau: C-niveau

Hej, hvordan kan det være at man skal sige

1,51^1/4 men ikke bare 1,51^4 ??

Evt. en forklaring på en udregning? :)

tak

Vedhæftet fil: opg.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. marts 2021 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. marts 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{For en potensfunktion}\\ \textup{g\ae lder:}\\& 1+r_y=(1+r_x)^a\\\\ \textup{her}\\& 1+0.51=(1+r_x)^4\\\\& 1.51^{\frac{1}{4}}=1+r_x\\\\& 1.10852=1+r_x\\\\& r_x=0.10852=10.9\%\quad(1 \textup{dec.}) \end{array}$

Svar #3
17. marts 2021 af Guleroden1

Hvorfor opløftet i 1/4 og ikke bare 4?

Brugbart svar (0)

Svar #4
17. marts 2021 af mathon

forklaring:
$\small \begin{array}{lllll}& a^4=d\\\\ \textup{Begge sider opl\o ftes i }\frac{1}{4}&&\textup{for at f\aa \ isoleret }a\\\\& \left (a ^4 \right ) ^{\frac{1}{4}}=d^{\frac{1}{4}}\\\\& a^{4\cdot \frac{1}{4}}=d^{\frac{1}{4}}\\\\&a=d^{\frac{1}{4}} \end{array}$

Svar #5
17. marts 2021 af Guleroden1

Hva er d?

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. marts 2021 af mathon

...en vilkårlig positiv værdi.

Svar #7
17. marts 2021 af Guleroden1

Men hvorfor overhovedet opløfte i 1/4?, hvis det var 20, ville det

så være 1/20? eller 2 = 1/2

Brugbart svar (1)

Svar #8
17. marts 2021 af mathon

Ja.

Brugbart svar (0)

Svar #9
17. marts 2021 af AMelev

Hvis f(x) = b·x^a vokser med en vækstrate r_y fra y til (1+ r_y)·y, så er x vokset med en vækstrate r_x fra x til (1+r_x)·x.

Dvs. f((1+r_x)·x) = (1+ r_y)·f(x), altså

$b\cdot ((1+r_x)\cdot x)^a=(1+r_y)\cdot b\cdot x^a\Leftrightarrow$
$b\cdot (1+r_x)^a\cdot x^a=(1+r_y)\cdot b\cdot x^a\Leftrightarrow$
$(1+r_x)^a=(1+r_y)\Leftrightarrow$
$1+r_x=\sqrt[a]{(1+r_y)}=(1+r_y)^{\frac{1}{4}}\Leftrightarrow$
$r_x=(1+r_y)^{\frac{1}{a}}-1$

Mere direkte (den anden vej)
Når x vokset med en vækstrate r_x fra x til (1+r_x)·x, så vokser y fra f(x) til f((1+r_x)·x).
$\frac{f((1+r_x) \cdot x)}{f(x)}=\frac{b\cdot ((1+r_x) \cdot x)^a }{b\cdot x^a}= \frac{b\cdot (1+r_x)^a \cdot x^a }{b\cdot x^a}=(1+r_x)^a\Leftrightarrow$
$f((1+r_x) \cdot x)=(1+r_x)^a\cdot f(x)\Leftrightarrow (1+r_y)\cdot y= (1+r_x)^a\cdot y \Leftrightarrow$
$(1+r_y)=(1+r_x)^a$ (jf. #2)

Brugbart svar (0)

Svar #10
17. marts 2021 af mathon

$\begin{array}{llllll} \textup{Hvis }\\& \begin{array}{lll} y_2\textup{ udtrykkes som }y_1\cdot (1+r_y)\\\\ x_2\textup{ udtrykkes som }x_1\cdot (1+r_x) \end{array} \\ \textup{haves}\\& \frac{y_2}{y_1}=\left ( \frac{x_2}{x_1} \right )^a\\\\& \frac{y_1\cdot (1+r_y)}{y_1}=\left ( \frac{x_1\cdot (1+r_x)}{x_1} \right )^a\\\\& 1+r_y=\left ( 1+r_x \right )^a\\\\\\& 1+r_x=\left ( 1+r_y \right )^{\frac{1}{a}} \end{array}$

Skriv et svar til: potens y vokser med

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.