Maclaurin udviklingsrække for cosinus af et komplekst argument

24. marts 2021 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude

Jeg har ud fra Taylorpolynomiums generelle formel fået lavet følgende maclaurin udviklingsrækken for cosinus:

$cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(x)^{2n}}{(2n)!}$

Men hvis jeg indsætter $i\theta$ i udtrykket vil jeg få forkerte outputs led $\therefore i^2=-1$

Må jeg godt forkaste $(-1)^n$ for at få det rigtige output?

Grunden til at jeg spørger er fordi jeg er i gang med at "bevise"/udlede eulers formel

Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. marts 2021 af peter lind

ikkeNej det må du bestemt ikke. Hvorfor er det forkert ?

Svar #2
24. marts 2021 af louisesørensen2

Fordi indsætte $i\theta$ , får man den udviklingsrække som hedder:

$cos(i\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(i*\theta)^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}+\frac{\theta^6}{6!}$

Men den udviklingsrække vi er udefter for at euler's formel passer hedder:

$1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}$ osv

Se link her: https://mateuxteknisk.systime.dk/?id=1105

Hvad tænker du umildbart, peter lind?

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. marts 2021 af peter lind

cos(x) = ½(e^ix+e^-ix)

x=iy

cos(iy) = ½(ei^*iy + e-*'(^iy) = ½(e^-y+e^y) = cosh(y)

Skriv et svar til: Maclaurin udviklingsrække for cosinus af et komplekst argument

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.