Matematik

LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER AF 1. ORDEN

05. april 2021 af Vasile - Niveau: B-niveau

Hej, er det nogen det kan hjelp? jeg har prove selv men kan ikke find ud at det...

På forhånd tak.

Når flere personer er til stede i samme lokale, stiger koncentrationen af CO2 i luften. Det skyldes, at menneskers udåndingsluft indeholder ca. 4 % CO2, mens ren udeluft kun indeholder 0,035% (350 ppm).

I Bygningsreglementet står, at indeluft i skoler og institutioner ikke må overstige 0,1 % (1000 ppm) CO2 i længere perioder.

I et klasselokale uden ventilation er der 30 voksne personer. Det viser sig, at CO2−koncentrationen, C, opfylder differentialligningen

$\frac{dC}{dt}=37,5$

hvor C er i ppm, og tiden t er i minutter.

1. Hvis C i begyndelsen er 350 ppm, hvor lang tid går der da, inden den når op på 1000 ppm og på 2000 ppm?

Med et bestemt ventilationssystem, hvor indeluft løbende udskiftes med udeluft, kan man i stedet opnå, at C opfylder differentialligningen

$\frac{dC}{dt}=53,25 - 0,045\cdot C$

2. Bestem herudfra C som funktion af tiden. Find ud af, hvornår bygningsreglementets grænseværdi på 1000 ppm nås. Antag som før, at C i begyndelsen er 350 ppm.

3. Hvilken øvre grænse er der for C med dette ventilationssystem?

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. april 2021 af Anders521

Ad 1) Løs ligningen C '(t) = 37,5 med betingelsen C(0) = 350. Dernæst løs ligningerne C(t) = 1000 og C(t) = 2000 mht. tiden t.

Ad 2) Løs ligningen C'(t) = 53,25 - 0,045·C(t) - bemærk at den er lineær. Med betingelsen C(0) = 350, løs dernæst ligningen C(t) = 1000 mht. tiden t.

Ad 3) Tegner du grafen for C, vil du kunne aflæse den øvre grænse.

Svar #2
05. april 2021 af Vasile

C'(t)=37,5

$37,5*e^t=350\Rightarrow t=2,2335922215071$

tror den er forkert...

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. april 2021 af Anders521

#2 Du har ret, det er forkert. Du skal blot integrere på begge sider af ligningen. Stamfunktionen til C '(t) er jo

∫ C '(t) dt = ... og ∫ 37,5 dt = ...

Svar #4
05. april 2021 af Vasile

#3 er det rigtig?

$\int C'(t)dt=c(t)$

$\int 37,5dt=37,5t+k$

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. april 2021 af Anders521

#4 Ja. Nu har du C(t) = 37,5t + k (hvor k er et vilkårligt tal), og kan dernæst løse ligningen C(0) = 350 mht. k

Svar #6
05. april 2021 af Vasile

$350=37,5+k\Rightarrow k=312,5$

Brugbart svar (0)

Svar #7
05. april 2021 af Anders521

#6 Korrekt.

Svar #8
05. april 2021 af Vasile

og 312,5 er det tiden/t?

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. april 2021 af Anders521

#8 Tallet 312,5 angiver CO₂−koncentrationen (målt i ppm) til tiden t = 0.

Svar #10
05. april 2021 af Vasile

og hvordan finde jeg tiden for 1000ppm hvis i t=0= 312,5ppm?

1000=312,5*e^t?

Brugbart svar (2)

Svar #11
05. april 2021 af Anders521

#11 Som jeg skrev i #1 skal du løse ligningen C(t) = 1000 mht. tiden t.

Skriv et svar til: LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER AF 1. ORDEN

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.