Matematik

Side 3 - find radius af en cylinder i en kegle

Brugbart svar (0)

Svar #41
08. maj 2021 af ringstedLC

$\begin{align*} \textup{\#34}:V_c &= \tan(30^{\circ})\cdot \pi\cdot \Bigl(r_k\cdot {r_c}^2-{r_c}^3\Bigr) \\ {V_c}' &= 2\cdot r_k\cdot r_c-3\cdot {r_c}^2 \\ &= r_c\cdot \bigl(2\cdot r_k-3\cdot r_c\bigr) \\ {V_c}' =0 &= 2\cdot r_k-3\cdot r_c\;,\;r_c> 0 \\ 3\cdot r_c &= 2\cdot r_k\Rightarrow \left\{\begin{matrix}r_c=\tfrac{2}{3}\cdot r_k \\\\ r_k=\tfrac{3}{2}\cdot r_c\end{matrix}\right. \end{align*}$

#37: Genlæs #34 og se at:

$\begin{align*} r_c &= \tfrac{2}{3}\cdot r_k \\ &= \tfrac{2}{3}\cdot 10\cdot \cos(30^{\circ}) \\ r_c &= \tfrac{20}{3}\cdot \cos(30^{\circ})\approx 5.77 \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #42
08. maj 2021 af Soeffi

#41. I forlængelse: Antag at men har en (lige) kegle med sidelængden s og topvinklen w.

Den indskrevne cylinder med det største volumen har radius:

r_c = (2/3)·r_k = (2/3)·s·sin(w/2).

I den første del af formlen er r_k keglens radius. Dette viser, at den radius der giver den største volumen altid har samme forhold til keglens radius, uanset topvinklen og sidelængden.

Indsættes s = 10 og w = 120°, så får man:

r_c = (2/3)·10·sin(120°/2) = (20/3)·sin(60°) = (20/3)·(√3)/2 = 10/√3 = 5,77.

Svar #43
09. maj 2021 af 927

betyder det så, at rc er 5,77 og dette tal er det der giver cylinderen den største mulige værdi?

Svar #44
09. maj 2021 af 927

jeg gjorde sådan her

V'c = 0;

0 = (20*tan(30)*cos(30) - 3*tan(30)*rc)*π*rc^2;

r__c = (20*tan(30)*cos(30))/(3*tan(30));

r__c = 20/3*cos(30);

men jeg får det til 1,02

Svar #45
09. maj 2021 af 927

nej ups jeg fik det til 5,7

Svar #46
09. maj 2021 af 927

må jeg lige spørge:

V'c = (20·tan(30°)·cos(30°) - 3·tan(30°)·rc)·rc·π.

i det her, hvorfor forsvinder rc² ogΠ, når vi putter V'c ligmed 0?, som her:

rc = (20*tan(30)*cos(30))/(3*tan(30))?

Brugbart svar (1)

Svar #47
09. maj 2021 af ringstedLC

Der forsvinder skam ikke noget:

$\begin{align*} V(r_c) &= \Bigl(10\cdot \tan(30^{\circ})\cdot \cos(30^{\circ})-\tan(30^{\circ})\cdot r_c\Bigr)\cdot \pi\cdot {r_c}^2 \\ &= \bigl(a-b\cdot r_c\bigr)\cdot \pi\cdot {r_c}^2 \\ &= a\,\pi\,{r_c}^2-b\,\pi\,{r_c}^3 \\ V'(r_c) &= \bigl(a\,\pi\,{r_c}^2\bigr)'-\bigl(b\,\pi\,{r_c}^3\bigr)' \\ &= 2\,a\,\pi\,r_c-3\,b\,\pi\,{r_c}^2 \\ &= \bigl(2\,a-3\,b\,r_c\bigr)\cdot \pi\cdot r_c \\\\ V'(r_c)=0 &= \left (2\,a-3\,b\,r_c \right )\cdot \pi\cdot r_c \\ 0 &= 2\,a-3\,b\,r_c\;,\;r_c\neq 0\,,\;\pi\neq 0 \end{align*}$

Volume optimering:

$\begin{align*} V'(r_c)=0 &= \left (2\,a-3\,b\,r_c \right )\cdot \pi\cdot r_c \\ 0 &= 2\,a-3\,b\,r_c\;,\;r_c\neq 0\,,\;\pi\neq 0 \\ r_c &= \tfrac{2\,a}{3\,b} \\ &= \frac{2\cdot \bigl(10\cdot \tan(30^{\circ})\cdot \cos(30^{\circ})\bigr)}{3\cdot \tan(30^{\circ})} \\ r_c&= \frac{20\cdot \cos(30^{\circ})}{3}=\frac{20\cdot \sqrt{3}}{3\cdot 2} =\frac{10\cdot \sqrt{3}}{3}\approx 5.77 \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #48
10. august 2021 af Soeffi

#0. Se evt. https://www.youtube.com/watch?v=Yr6p2TBfgPM&ab_channel=MichelvanBiezen.

Forrige 1 2 3 Næste

Skriv et svar til: find radius af en cylinder i en kegle

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.