Matematik

Ligning

24. september 2021 af Quarr - Niveau: 8. klasse

6^2x+3*3^1-x=4.5

Hvordan løses den vha. logaritmer?

Brugbart svar (1)

Svar #1
24. september 2021 af Soeffi

#0.

$6^{2x+3}\cdot 3^{1-x}=4,5\Rightarrow$

$ln(6^{2x+3}\cdot 3^{1-x})=ln(4,5)\Rightarrow$

$(2x+3)\cdot ln(6)+(1-x)\cdot ln(3)=ln(4,5)\Rightarrow$

$2x\cdot ln(6)+3\cdot ln(6)+ln(3)-x\cdot ln(3)=ln(4,5)\Rightarrow$

$x\cdot (ln(6^2)- ln(3))=ln(4,5)-ln(6^3)-ln(3)\Rightarrow$

$x\cdot ln\left ( \frac{6^2}{3} \right )=ln\left ( \frac{4,5}{6^3\cdot 3}\right )\Rightarrow$

$x\cdot ln\left ( 12 \right )=ln\left ( \frac{1}{12^2}\right )\Rightarrow$

$x\cdot ln\left ( 12 \right )=-2\cdot ln\left ( 12\right )\Rightarrow$

$x=-2$

Brugbart svar (1)

Svar #2
25. september 2021 af SuneChr

Implikationerne i det ovenstående kan overalt læses i begge retninger, da enhver logaritmefunktion
er monoton. ⇒ kan derfor erstattes med ⇔ .
Opgaven er sikkert stillet for at opøve færdighed i logaritmeregnereglerne, men kan let løses uden
brug af logaritmer.

Brugbart svar (1)

Svar #3
25. september 2021 af mathon

opfølgningpå #2

$\small \begin{array}{llllll} &&6^{2x+3}\cdot 3^{1-x}=4.5\\\\&& (2\cdot 3)^{2x+3}\cdot 3^{1-x}=\frac{45}{10}\\\\&& 2^{2x+3}\cdot 3^{2x+3}\cdot 3^{1-x}=\frac{3^2\cdot 5}{2\cdot 5}\\\\&& 2^{2x+3}\cdot 3^{2x+3+1-x}=2^{-1}\cdot 3^2\\\\&& 2^{2x+3}\cdot 3^{x+4}=2^{-1}\cdot 3^2\\ \textup{hvoraf}\\&& 2x+3=-1\quad \wedge \quad x+4=2\\\\&& x=-2\quad \wedge\quad x=-2 \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
25. september 2021 af Soeffi

#2. Tak for kommentaren, men generelt slipper man ikke helt for logaritmer:

$a^{nx+m}\cdot b^{px+q}=c\Leftrightarrow$

$(a^{n})^x \cdot a^{m} \cdot (b^{p})^x \cdot b^q=c\Leftrightarrow$

$(a^{n}\cdot b^{p})^x =c \cdot a^{-m} \cdot b^{-q}\Leftrightarrow$

$x\cdot ln (a^{n}\cdot b^{p}) =ln(c \cdot a^{-m} \cdot b^{-q}) \Leftrightarrow$

$x =\frac{ln(c \cdot a^{-m} \cdot b^{-q})}{ln (a^{n}\cdot b^{p})}$

hvor a, b, c ∈ R₊ og m, n, p, q ∈ R. I vores tilfælde indsættes: a = 6; b = 3; c = 4,5; n = 2; m = 3; p = -1 og q = 1, så man får:

$x =\frac{ln(4,5 \cdot 6^{-3} \cdot 3^{-1})}{ln (6^{2}\cdot 3^{-1})} =-2$

Brugbart svar (0)

Svar #5
25. september 2021 af Soeffi

#4. Der er to metoder: logaritme-metoden og samme basis-metoden. Samme basis vil sige, at man prøver at skabe en potens på højre side at lighedestegnet, der har samme basis som potensen med x. I vores tilfælde får man:

$6^{2x+3}\cdot 3^{1-x}=4,5\Leftrightarrow$

$(6^{2}\cdot 3^{-1})^x =4,5 \cdot 6^{-3} \cdot 3^{-1}\Leftrightarrow$

$12^x =4,5 \cdot 6^{-3} \cdot 3^{-1}\Leftrightarrow...$

Her kan man så tage logaritmen på begge sider, men i stedet vælger man at omskrive højre side til en potens med basis 12:

$12^x =(3^2\cdot 2^{-1}) \cdot (2\cdot 3)^{-3} \cdot 3^{-1}\Leftrightarrow$

$12^x =2^{-4}\cdot 3^{-2}\Leftrightarrow$

$12^x =4^{-2}\cdot 3^{-2}\Leftrightarrow$

$12^x =12^{-2}$

Heraf ses, at x = -2.

Skriv et svar til: Ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.