Matematik

Find stamfunktionen til f(x)=((cos(x)+sin(x))/ cos(x)

07. oktober 2021 af petbau - Niveau: B-niveau

er der en venlig sjæl, der kan hjælpe mig med: $f(x)=\frac{cos(x)+sin(x)}{cos(x)}$

Jeg har problemer med nævneren. Jeg har på fornemmelsen, at man skal brug substitution. Jeg kan ikke regne et udtryk ud, der differentieret giver $f(x)=\frac{1}{cos(x)} eller cos(x)^{-1}$

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. oktober 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll}& f(x)=&\frac{\cos(x)+\sin(x)}{\cos(x)}=1+\tan(x)\qquad x\neq \frac{\pi}{2}+p\cdot \pi\qquad p\in\mathbb{R}\\\\\\& \small F(x)=&\int \left ( 1+\tan(x) \right )\mathrm{d}x=\int 1 \mathrm{d}x+\int \tan(x)\mathrm{d}x=x+\int \tan(x)\mathrm{d}x\\\\\\ \textup{beregning af }&\int \tan(x)\mathrm{d}x=&\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\mathrm{d}x\\\\ \textup{her s\ae ttes:}\\&u=\cos(x)&\textup{og dermed }\quad -\mathrm{d}u=\sin(x)\mathrm{d}x\\\\ \textup{hvoraf:}\\& \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\mathrm{d}x=&\int \frac{1}{\cos(x)}\sin(x)\mathrm{d}x=-\int \frac{1}{u}\mathrm{d}u=-\ln\left | u \right |+k=-\ln\left | \cos(x) \right |+k\\ \textup{og}\\\\& F(x)=&\int \frac{\cos(x)+\sin(x)}{\cos(x)}=x-\ln\left | \cos(x) \right |+k \end{array}$

Svar #2
07. oktober 2021 af petbau

Hej mathon, tak for dit svar. Det er pænt af dig.

Jeg kan ikke forstå hvordan $\frac{cos(x)+sin(x)}{cos(x)}$ er det samme som

$1 + tan(x)$

Jeg forstår heller ikke, hvorfor det er: -du=sin(x)

Jeg roder med nu med de basale trigonometriske regler, $tan=\frac{sin(x)}{cos(x)}$

er det fordi du deler op og siger: $\frac{1}{cos(x)}\cdot cos(x))$ som er lig med 1

$\frac{1}{cos(x)}\cdot sin(x))=\frac{cos(x)}{sin(x)}= tan(x)$

Vh Peter

Brugbart svar (1)

Svar #3
07. oktober 2021 af mathon

$\small \frac{1}{\cos(x)}\cdot \sin(x))=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}= \tan(x)$

ikke

$\small \small \frac{1}{\cos(x)}\cdot \sin(x))=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}= \tan(x)$

Brugbart svar (1)

Svar #4
07. oktober 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}&& u=\cos(x)\\\\&& \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=-\sin(x)\\\\&& \mathrm{d}u=-\sin(x)\mathrm{d}x\\\\&& -\mathrm{d}u=\sin(x)\mathrm{d}x \end{array}$

Svar #5
07. oktober 2021 af petbau

Selvfølgelig, min fejl $tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$

Jeg kan godt se, hvorfor der skal være minustegn, cosinus differentieret giver - sinus ( man går med uret rundt i enhedscirklen.

Mange tak for din hjælp.

Skriv et svar til: Find stamfunktionen til f(x)=((cos(x)+sin(x))/ cos(x)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.