Matematik

Cirklens ligning, parameterfremstilling

19. december 2021 af Carollc - Niveau: A-niveau

Hej derude

En cirkel har radius 17 og centrum $(-7,7)$ . Opskriv cirklens ligning og vis, at punktet $P(1,-8)$ ligger på cirklen. Bestem dernæst en parameterfremstilling for cirkeltangenten i P.

Tak, mange tak på forhånd!

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. december 2021 af ringstedLC

Retningsvektoren for tangenten er tværvektor til vektor (centrum, P).

Se eventuelt https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2032927

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. december 2021 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllllll} \textup{cirkel}&&c\textup{:}\quad (x+7)^2+(y-7)^2=17^2\\\\ \textup{tangent}\\ \textup{i }(1,-8)\textup{:}&&t\textup{:}\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-8 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1-(-7)\\ -8-7 \end{pmatrix}\quad t\in\mathbb{R}\\\\&& t\textup{:}\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-8 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} \, \, 8\\ -15 \end{pmatrix} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. december 2021 af ringstedLC

I #2 er tangentens parmeterfremstilling ikke rigtig:

$\begin{align*} \textup{tangent:}\quad \binom{x}{y} &= \binom{x_P}{y_P}+t\cdot \widehat{\binom{x_P-x_C}{y_P-y_C}}\;,\;t\in \mathbb{R} \\\\ &= \binom{x_P}{y_P}+t\cdot \binom{-\bigl(y_P-y_C\bigr)}{x_P-x_C}\end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. december 2021 af mathon

korrektion af "smutter":

$\small \begin{array}{lllllll} \textup{cirkel}&&c\textup{:}\quad (x+7)^2+(y-7)^2=17^2\\\\ \textup{tangent}\\ \textup{i }(1,-8)\textup{:}&&t\textup{:}\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-8 \end{pmatrix}+t\cdot \widehat{\begin{pmatrix} 1-(-7)\\ -8-7 \end{pmatrix}}\quad t\in\mathbb{R}\\\\&& t\textup{:}\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-8 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} \, \, 15\\ 8 \end{pmatrix} \end{array}$

Svar #5
20. december 2021 af Carollc

Tusind tak for hjælpen!!

Svar #6
20. december 2021 af Carollc

Jeg har sat det ind i geogebra for at tjekke om punktet ligger på cirklen, og det gør den.

Men er ligningen ovenover svaret?

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. december 2021 af ringstedLC

#6: Du bør nok indsætte P 's koordinater i cirklens ligning og vise, at den er opfyldt. Husk ihvertfald at beskrive, hvordan du løser opgaver vha. GG.

I #4 ses ligningen for cirklen og parameterfremstillingen for tangenten.

Med GG kan du få omdannet fx en linje mellem ligningsformerne og parameterfremstilling:

- Konstruer tangenten i punktet med tangentværktøjet.

- Højreklik på den i "Algebra vindue" og vælg "Parametrisk form".

- Se at den nu ligner " t : " i #4.

Skriv et svar til: Cirklens ligning, parameterfremstilling

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.