Matematik

Mængder og indikatorfunktioner

19. december 2021 af Mezx - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg sidder fast i en opgave, hvor jeg har indikatorfunktionen 1_D (x,y) hvor D er mængden D = {(x,y) \in R^2 I x=y}. Jeg vil meget gerne splitte indikatorfunktionen op i 2, altså en der afhænger af x og en der afhænger af y, men jeg kan ikke gennemskue, hvad mængderne som aktivere indikatorfunktionerne skal være.

Håber i kan hjælpe

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. december 2021 af peter lind

Jeg ved ikke hvad en indikatorfunktion er så med forbehold.

Betingelsen er jo at x=y så den kan også skrives { (t, t) | t = r } eller med andre ord grafisk en ret linje. Jeg kan ikke se der er nogen anden muligheder en at dele den op i forskellige mere eller mindre dele for eks. t> 0 og t ≤0 og det er vel ikke det du mener

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. december 2021 af Eksperimentalfysikeren

#0 Det kan ikke lade sig gøre at dele den op

#1 En indikatorfuktion, 1_M(x), for en mængde M har forskriften:

$1_{M}(x)) = \left\{\begin{matrix} 1 & for x\in M\\ 0 & ellers \end{matrix}\right.$

Svar #3
20. december 2021 af Mezx

Okay, tak for det!

Jeg er igang med at løse denne opgave, men ved ikke hvordan jeg skal løse den, uden at splitte indikatorfunktionen op. Kan i evt hjælpe med det?

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2021-12-20 kl. 10.52.29.png

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. december 2021 af probabilist

#3
Okay, tak for det!

Jeg er igang med at løse denne opgave, men ved ikke hvordan jeg skal løse den, uden at splitte indikatorfunktionen op. Kan i evt hjælpe med det?

Kig på det integral. Eksempelvis, så er for $y\in\mathbb{R}:$

$\int1_D(x,y)dm(x)=\int1_y(x)dm(x)=0\\ og \int 0d\tau({y})=0$

Kan du tage den her fra?

Svar #5
21. december 2021 af Mezx

#4
#3
Okay, tak for det!

Jeg er igang med at løse denne opgave, men ved ikke hvordan jeg skal løse den, uden at splitte indikatorfunktionen op. Kan i evt hjælpe med det?

Kig på det integral. Eksempelvis, så er for $y\in\mathbb{R}:$

$\int1_D(x,y)dm(x)=\int1_y(x)dm(x)=0\\ og \int 0d\tau({y})=0$

Kan du tage den her fra?

Jeg har prøvet at løse opgaven sådan her, men tænker at det ikke er helt rigtigt.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2021-12-21 kl. 00.47.10.png

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. december 2021 af probabilist

#5
#4
#3
Okay, tak for det!

Jeg er igang med at løse denne opgave, men ved ikke hvordan jeg skal løse den, uden at splitte indikatorfunktionen op. Kan i evt hjælpe med det?

Kig på det integral. Eksempelvis, så er for $y\in\mathbb{R}:$

$\int1_D(x,y)dm(x)=\int1_y(x)dm(x)=0\\ og \int 0d\tau({y})=0$

Kan du tage den her fra?

Jeg har prøvet at løse opgaven sådan her, men tænker at det ikke er helt rigtigt.

Der er ingen grund til at bruge Riemann. Det er langt nemmere, hvis du erindrer, at hvis m er et mål, I er integralet, og A er en mængde, så er I_m(1_A)=A.

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. december 2021 af probabilist

Nogle eksempler

$\int1_\mathbb{R}dm(x)=m(\mathbb{R})=\infty\\ \int1_{\{y\}}d\tau(x)=\tau(\{y\})=1\\ \int0d\tau(x)=\sum_{x\in\mathbb{R}}0:=sup(\sum _{i\in L,\vert L\vert <\infty}0)=0$

Svar #8
21. december 2021 af Mezx

Jeg ved nemlig godt at \int 1_A dm(x) = m(A), men var bare lidt i tvivl om man også kunne gøre det, når der står \int 1_A * x dm(x). Altså om man kan rykke x udenfor integralet?

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. december 2021 af probabilist

#8
Jeg ved nemlig godt at \int 1_A dm(x) = m(A), men var bare lidt i tvivl om man også kunne gøre det, når der står \int 1_A * x dm(x). Altså om man kan rykke x udenfor integralet?

Der står ikke noget gange-tegn. Det er for at vise, at indikator-funktionen afhænger af x. Det, der menes, er, at 1_A(x) = 1_{x \in A}.

Svar #10
21. december 2021 af Mezx

Ja, men i #5 er har jeg omdefineret indikatorfunktionen 1_D til 1_(-uendelig, uendelig) *x.

Jeg er dog ikke helt sikker på om jeg kan det, eller om det overhovedet giver mening at gøre.

Brugbart svar (0)

Svar #11
21. december 2021 af probabilist

#10
Ja, men i #5 er har jeg omdefineret indikatorfunktionen 1_D til 1_(-uendelig, uendelig) *x.

Jeg er dog ikke helt sikker på om jeg kan det, eller om det overhovedet giver mening at gøre.

Det er der ikke nogen grund til at gøre. Du har integralet $\int1_D(x,y)dm(x)$ . Du integrerer med hensyn til x og holder y konstant. Indikatorfunktionen er i dette tilfælde 1, hvis x=y. Dette giver altså, at I(1_d(x,y)dm(x))=I(1_{y}(x)dm(x))=m({y})=0, da Lebesguemålet af en singleton er 0. For et fast y, må mængden {x\in R: (x,y) \in D} jo være en étpunktsmængde. Husk, at man bruger integralerne som parenteser; altså

$\int\int1_D(x,y)dm(x)d\tau(y)=\int(\int1_D(x,y)dm(x))d\tau(y)$ .

Du skal altså så bare finde

$\int1_D(x,y)dm(x)=0 \implies \int0\tau(y)=?$

Skriv et svar til: Mængder og indikatorfunktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.