Matematik

Cirkel og tangent, Vejen til Matematik A2, Opgave 40, Side 45, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

04. januar 2022 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 40. En cirkel har centrum i ( -1, -2 ) og går gennem punket P ( 4, 1)

a) Bestem en ligning for cirklen

Min løsning:

Cirklen med centrum i C = (a,b) og radius r har ligningen:

( x - a )² + ( y - b )² = r ²

Jeg indsætter C = ( -1, -2 ) og punktet P ( 4, 1 )

( 4 -(-1))² + ( 1 - (-2))² = r²

( 4 + 1)² + (1 + 2)² = r²

5² + 3² = r²

25 + 9 = r²

r² 34

Jeg opskriver cirklens ligning ved at indsætte C = ( -1, -2 ) og tallet r² = 34 i cirklens ligning.

Cirklens ligning:

( x - (-1) )² + (y -(- 2) )² = 34

( x + 1 )² + ( y + )² = 34

(Det samme som facitlisten side 391)

b) Bestem en ligning for tangenten i punktet ( 2,5 )

Min løsning:

Vektoren CP vil være normalvektor n til tangenten i punktet ( Det er ikke muligt at skrive pilen over tallet, den må man tænke sig til )

n = CP = (₅² ^{- (-1)}-(-2)) = (³ ₇ )

Ud fra punktet ( 2 , 5 ) opskriver jeg ligningen

3•( x - 2 ) + 7• ( y - 5 ) = 0

3x - 6 + 7y - 35 = 0

3x + 7y -42 = 0

(I facitlisten side 391 er ligningen for tangenten i punktet ( 2 , 5 )

x + 3y - 17 = 0

Hvad gør jeg forkert.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
04. januar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} \textup{cirkelligning}&c\textup{:}\quad (x+1)^2+(y+2)^2=34\\\\ \textup{tangentligning}\\ \textup{i }(2,5)&t\textup{:}\quad (2+1)(x+1)+(5+2)(y+2)=34\\\\&\quad \; \; \; 3x+3+7y+14=34\\\\&\quad\; \; \; 3x+7y-17=0\quad \textup{fejl i facitliste} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
04. januar 2022 af PeterValberg

Punktet (2, 5) ligger ikke på cirklen

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (1)

Svar #3
04. januar 2022 af mathon

#0
Du har åbenbart ikke kontrolleret, om punktet (2,5) ligger på cirklen.

Brugbart svar (1)

Svar #4
04. januar 2022 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll} \textup{cirkelligning}&c\textup{:}\quad (x+1)^2+(y+2)^2=34\\\\ \textup{tangentligning}\\ \textup{i }(4,1)&t\textup{:}\quad (4+1)(x+1)+(1+2)(y+2)=34\\\\&\quad \; \; \; 5x+5+3y+6=34\\\\&\quad\; \; \; 5x+3y-23=0\quad \end{array}$

Svar #5
04. januar 2022 af ca10

Tak for svarene

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. januar 2022 af mathon

men tangenterne
til cirklen
$\small \left (x+1 \right )^2+\left (y+2 \right )^2=34$ med skæring i $\small (2,5)$

$\small \small \textup{solve}\left (\left \{\begin{matrix}5=a\cdot 2+b \\&\left \{ a,b \right \} \\\frac{\textup{abs}\left ( a\cdot (-1)-(-2)+b \right )}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{34} \end{matrix} \right.\right )=\left\{\begin{matrix} \left \{ a,b \right \}=\left \{ -1.98263,8.96526 \right \}\\ \left \{ a,b \right \}=\left \{0.302629,4.39474 \right \} \end{matrix}\right.\\\\$

er
$\small \small \begin{matrix} \, \, y=-1.98263x+8.96526\\ y=0.302629x+4.39474 \end{matrix}$

Svar #7
05. januar 2022 af ca10

Tak for svaret

Skriv et svar til: Cirkel og tangent, Vejen til Matematik A2, Opgave 40, Side 45, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.