Matematik

Koordinatsæt til skæringspunkt mellem tangenter.

08. januar 2022 af mangetakforhjælpen - Niveau: A-niveau

Hej.

Jeg vil høre, om der er nogen, der kan hjælpe mig med delopgave b i vedhæftede opgave.

På forhånd tusind tak for hjælpen. ;-)

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2022-01-08 kl. 18.50.46.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. januar 2022 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. januar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll}\textbf{a)}\\&&& y=0=-t^2+4t-3\\\\&&& t^2-4t+3=0\\\\&&& t=\left\{\begin{matrix} 1\\3 \end{matrix}\right.\\& \textup{dvs}\\&&& \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\cdot 1^2-6\cdot 1\\ -1^2+4\cdot 1-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\0 \end{pmatrix}\quad \textup{og}\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\cdot 3^2-6\cdot 3\\-3^2+4\cdot 3-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18\\0 \end{pmatrix}\\\\&&& R=\left (-2,0 \right )\qquad \textup{og}\qquad Q=\left (18,0 \right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. januar 2022 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll}\textbf{b)}\\&&&\begin{pmatrix} x{\, }'\\ y{\, }' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8t-6\\-2t+4 \end{pmatrix}\\\\&\textup{En retnings-}\\&\textup{vektor i }Q\textup{:}&& \overrightarrow{r}(1)=\begin{pmatrix} 8\cdot 1-6\\-2\cdot 1+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}\\\\&\textup{En normal-}\\&\textup{vektor i }Q\textup{:} \\&&&\overrightarrow{n}(1)=\begin{pmatrix} -2\\2 \end{pmatrix}\\ \\&\textup{En ligning }\\&\textup{for }&&m\textup{:}\quad \begin{pmatrix} -2\\2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-18\\ y-0 \end{pmatrix}=0\\\\&&&y=x-y-18=0 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. januar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllllll}\textbf{b) fortsat} \\& \textup{En retnings-}\\&\textup{vektor i }S\textup{:}&& \overrightarrow{r}(0)=\begin{pmatrix} 8\cdot 0-6\\-2\cdot 0+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6\\4 \end{pmatrix}\\\\&\textup{En normal-}\\&\textup{vektor i }S\textup{:} \\&&&\overrightarrow{n}(0)=\begin{pmatrix} -4\\-6 \end{pmatrix}=-2\cdot \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}\\ \\&\textup{En ligning }\\&\textup{for }&&n\textup{:}\quad \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-0\\ y-(-3) \end{pmatrix}=0\\\\&&&y=2x+3y+9=0 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. januar 2022 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllllll}\textbf{b) fortsat} \\& \textup{Sk\ae ring mellem}\\&\textup{ m og n:}\\&&& \begin{matrix} x-y=18\Leftrightarrow x=y+18\\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2x+3y=-9 \end{matrix}\\\\ &&&2\cdot \left ( y+18 \right )+3y=-9\\\\&&& y=-9\\\\&&& x=-9+18=9\\\\& \textup{Sk\ae ringspunkt:}&&(9,-9) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. januar 2022 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. januar 2022 af mathon

korrektion:

$\small \begin{array}{llllll}\textbf{b)}\\&&&\begin{pmatrix} x{\, }'\\ y{\, }' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8t-6\\-2t+4 \end{pmatrix}\\\\&\textup{En retnings-}\\&\textup{vektor i }Q\textup{:}&& \overrightarrow{r}(3)=\begin{pmatrix} 8\cdot 3-6\\-2\cdot 3+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18\\-2 \end{pmatrix}\\\\&\textup{En normal-}\\&\textup{vektor i }Q\textup{:} \\&&&\overrightarrow{n}(3)=\begin{pmatrix} 2\\18 \end{pmatrix}=2\cdot \begin{pmatrix} 1\\9 \end{pmatrix}\\ \\&\textup{En ligning }\\&\textup{for }&&m\textup{:}\quad \begin{pmatrix} 1\\9 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-18\\ y-0 \end{pmatrix}=0\\\\&&&\quad \; \; \; \; \; \;\! x+9y-18=0 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. januar 2022 af mathon

korrektion:

$\small \small \small \small \begin{array}{llllllll}\textbf{b) fortsat} \\& \textup{Sk\ae ring mellem}\\&\textup{ m og n:}\\&&& \begin{matrix} x+9y=-18\Leftrightarrow x=18-9y\\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2x+3y=-9 \end{matrix}\\\\ &&&2\cdot \left (18-9y \right )+3y=-9\\\\&&& y=3\\\\&&& x=18-9\cdot 3=-9\\\\& \textup{Sk\ae ringspunkt:}&&(-9,3) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
08. januar 2022 af mathon

korrektion 2:

$\small \small \small \small \small \begin{array}{llllllll}\textbf{b) fortsat} \\& \textup{Sk\ae ring mellem}\\&\textup{ m og n:}\\&&& \begin{matrix} x+9y-18=0\Leftrightarrow x=18-9y\\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2x+3y=-9 \end{matrix}\\\\ &&&2\cdot \left (18-9y \right )+3y=-9\\\\&&& y=3\\\\&&& x=18-9\cdot 3=-9\\\\& \textup{Sk\ae ringspunkt:}&&(-9,3) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
08. januar 2022 af ringstedLC

Med parameterfremstillinger for tangenterne:

$\begin{align*}S=\binom{0}{-3} &= OP(t_0) \\ &\Rightarrow 0=4{t_0}^2-6t_0\;\wedge \;-3=-{t_0}^2+4t_0-3 \\ &\Rightarrow t_0=\frac{6\pm 6}{8} \;\wedge \; t_0=\frac{-4\pm 4}{-2}\Rightarrow t_0=0 \\ n:\binom{x}{y}=\binom{0}{-3}+t_n\cdot \binom{x'(0)}{y'(0)} &= \binom{0}{-3}+t_n\cdot \binom{-6}{4}\;,\;t_n\in \mathbb{R}\;,\;\binom{x'(t)}{y'(t)}=\binom{8t-6}{-2t+4} \\ m:\binom{x}{y}=\binom{18}{0}+t_m\cdot \binom{x'(3)}{y'(3)} &= \binom{18}{0}+t_m\cdot \binom{18}{-2}\;,\;t_m\in \mathbb{R} \\ &\Rightarrow 18+18t_m=-6t_n \;\wedge \;-2t_m=-3+4t_n \\ &\Rightarrow t_n=-3-3t_m \\ &\Rightarrow -2t_m=-3+4\cdot (-3-3t_m) \\&\Rightarrow t_m=-\frac{3}{2} \\ \textup{Sk\ae ring }(m,n):\binom{x}{y} &=\binom{18}{0}-\frac{3}{2}\cdot \binom{18}{-2}=\binom{-9}{3} \end{align*}$

Svar #11
09. januar 2022 af mangetakforhjælpen

Tusind, tusind tak for hjælpen, begge to. Det er meget værdsat.

Jeg forstår godt, hvorfor der indsættes 3, når retningsvektoren i Q skal findes, da t=3, men jeg forstår ikke, hvorfor der indsættes 0, når retningsvektoren i S skal findes. Hvor kommer det 0 fra? t er da ikke kendt i dette tilfælde, som ved førstnævnte, eller hvad?

Brugbart svar (0)

Svar #12
09. januar 2022 af ringstedLC

Se de tre første linjer i #10.

Det oplyses, at S ligger på banekurven:

$\begin{align*} S=\binom{0}{-3} &= \overrightarrow{OP}(t_0) \\ \binom{0}{-3}&= \binom{4{t_0}^2-6t_0}{-{t_0}^2+4t_0-3} \\ &\Rightarrow 0=4{t_0}^2-6t_0\;\wedge \;-3=-{t_0}^2+4t_0-3 \\ &\Rightarrow t_0=\frac{6\pm 6}{8} \;\wedge \; t_0=\frac{-4\pm 4}{-2}\Rightarrow t_0=0 \\ \end{align*}$

Svar #13
09. januar 2022 af mangetakforhjælpen

Arh, ja. Det kan jeg da godt se. Det giver mening nu.

Mange TAK for de super gode forklaringer.

Rigtig god dag. ;-)

Skriv et svar til: Koordinatsæt til skæringspunkt mellem tangenter.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.