Matematik

Benyt denne formel til at vise, at cirklens areal er givet ved π · r^2.

19. januar 2022 af Markus2300 - Niveau: A-niveau

Ville høre om nogen kan hjælp med denne opgave.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2022-01-19 kl. 19.25.08.png

Svar #1
19. januar 2022 af Markus2300

Har lavet dette, men får 0?

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2022-01-19 kl. 19.25.27.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. januar 2022 af mathon

Brugbart svar (1)

Svar #3
19. januar 2022 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}&& \overrightarrow{s}{\, }'(t)=&\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(t)\\ r\cdot \cos(t) \end{pmatrix}\\\\&& \widehat{\overrightarrow{s}}(t)\, \, =&\begin{pmatrix} -y_o-r\cdot \sin(t)\\ x_o+r\cdot \cos(t) \end{pmatrix}\\\\&& \overrightarrow{s}{\, }'(t)\cdot \widehat{\overrightarrow{s}}(t)=& \begin{pmatrix} -r\cdot \sin(t)\\ r\cdot \cos(t) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -y_o-r\cdot \sin(t)\\ x_o+r\cdot \cos(t) \end{pmatrix}=\\\\&&& r\cdot y_o\sin(t)+r^2\sin^2(t)+r\cdot x_o\cos(t)+r^2\cdot \cos^2(t)=\\\\&&& r\cdot \left (y_o\sin(t)+x_o\cos(t)) +r^2\cdot (\cos^2(t)+\sin^2(t) \right )=\\\\&&& r\cdot \left (y_o\sin(t)+x_o\cos(t)\right) +r^2\\\\\\&&A=& \frac{1}{2}\cdot \left | \int_{0}^{2\pi}\left ( r\cdot \left (y_o\sin(t)+x_o\cos(t)\right) +r^2 \right )\mathrm{d}t \right |=\\\\&&& \frac{1}{2}\cdot \left | \left [ r\cdot \left (-y_o\cdot \cos(t) +x_o\cdot \sin(t)\right ) +r^2\cdot t \right ]_0^{2\pi} \right |=\\\\&&& \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
19. januar 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \textbf{fortsat:}\\&&& \frac{1}{2}\cdot \left [ r\cdot \left ( -y_o\cdot 1+x_o\cdot 0 \right )+r^2\cdot 2\pi-\left (r\cdot \left ( -y_o\cdot 1+x_o\cdot 0 \right ) +r^2\cdot 0\right ) \right ]=\\\\&&& \frac{1}{2}\cdot \left |-ry_o+2\pi\cdot r^2 +ry_o \right |=\frac{1}{2}\cdot 2\pi\cdot r^2=\pi\cdot r^2 \end{array}$

Skriv et svar til: Benyt denne formel til at vise, at cirklens areal er givet ved π · r^2.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.