Matematik

Forskellen på fart og hastighed (vektor og differentiation))

27. januar 2022 af Differentkindsofrainbows

Jeg er igang med at læse om differentiering i bogen "Calculus Essentials for Dummies" (teksten vedhæftet), men jeg forstår ikke forskellen på hastighed og fart, og hvad hastighed egentlig er.

Jeg fandt dette svar fra en tråd fra Computerworld;

Hastighed er matematisk set en vektor, som fortæller om hvor langt et legeme bevæger sig inden for en bestemt tidsenhed, og i hvilken retning det foregår. Hastigheden fremkommer altså ved at differentiation strækningen med hensyn til tiden. Fart er en anden betegnelse, som ofte forveksles med hastighed. Farten beskriver dog i stedet længden af vektoren, og fortæller dermed intet om retningen af bevægelsen.

Jeg forstår ikke, hvordan man kan med en vektor beskrive retningen af noget. Kan I komme med et konkret eksempel, hvad der menes med det. Altså hvis en bil kører mod højre eller mod syd, hvordan kan man se det på en vektor i planen (måske stiller jeg spørgmålet forkert, da jeg ikke forstår det helt). Kan I også komme ind på 'hastighedsvektor' - det er noget om, at den har samme retning, som funktionens tangenter i et givet punkt - vil det sige, at hver enkelt hastighedsvektor ikke fortæller noget om ændringen i retningen i sig selv, men kun retningen til et bestemt punkt på grafen? I må gerne tilføje noget mere om, hvad der menes med hastighed og fart samt forskellen.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2022-01-27 kl. 14.21.56.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. januar 2022 af StoreNord

En bil, som kører fra øst mod vest kan have hastighedsvektoren (90,0) og farten 90.
Hvis den møder en bakke, bliver hastighedsvektoren (80,5) og farten √(80²+5²)=80,15.
Standser man motoren på vej op ad bakken, bliver hastighedsvektoren (-80,-5) fordi bilen kører baglæns og nedad; men farten er stadig √((-80)²+(-5)²)=80,15 ; altså positiv.

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. januar 2022 af Eksperimentalfysikeren

Farten er tilbagelagt vejlængde divideret med tiden.

Hastigheden er farten og dens retning.

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. januar 2022 af ringstedLC

#0
Jeg forstår ikke, hvordan man kan med en vektor beskrive retningen af noget.

$\begin{align*} A &= \bigl(x_1 \,,y_1\bigr)\;,\;B=\bigl(x_2 \,,y_2\bigr) \\ \textup{En vektor} &= \left\{\begin{matrix} \textup{(bev\ae gelse i) en retning:}\; \overrightarrow{AB} \!&= \begin{pmatrix}x_2-x_1\\y_2-y_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{AB}\\y_{AB}\end{pmatrix} \\\\ \textup{en str\ae kning (afstand):} \left |\overrightarrow{AB}\right | \!&= \sqrt{{x_{AB}}^2+{y_{AB}}^2}=s\quad & \end{matrix}\right. \end{align*}$

For at komme fra A til B, kan man bevæge sig afstanden x_AB i x-aksens retning og afstanden y_AB i y-aksens retning.

Da den korteste afstand mellem to punkter er en ret linje, kan man måske nøjes med at bevæge sig afstanden s i den virkelige verden.

s er iøvrigt radius i en cirkel med centrum i A, hvor B ligger på cirkelperiferien.

Brugbart svar (0)

Svar #4
30. januar 2022 af ringstedLC

Praktisk eksempel:

Det centrale vejnet i en storby ligger som et gitter i et koordinatsystem og er orienteret som (øst, nord). Du står på et gadehjørne A og spørger om vej til en forretning B, der ligger én gade mod vest og én gade mod nord. Du får "svaret":

"Gå hen til næste kryds (der peges i vestlig retning) og gå til højre til det næste kryds".

$\begin{align*} A=\bigl(0 \,,0\bigr)\;,&\;B=\bigl(g\,\textup{(vest)} \,,g\,\textup{(nord)}\bigr) =\bigl(-g\,\textup{(\o st)} \,,g\,\textup{(nord)}\bigr) \\ \overrightarrow{AB} &= \binom{-g-0}{g-0}=\binom{-g}{g} \\ \textup{Korteste\,afstand:}\left |\overrightarrow{AB}\right | &= \sqrt{(-g)^2+(g)^2}=\sqrt{2}\cdot g \\ \textup{Aktuel\,afstand: }s &= \left |-g\right |+g=2\cdot g \end{align*}$

da man jo nok ikke bare kan gå i en lige linje fra A til B.

Brugbart svar (0)

Svar #5
30. januar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} \textbf{Generelt:}\\&& \textup{stedvektor:}&\overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\y(t) \end{pmatrix}\\\\&& \textup{hastighedsvektor:}&\overrightarrow{v}(t)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \overrightarrow{r}(t) \right )=\begin{pmatrix} \dot x(t)\\ \dot y(t) \end{pmatrix}\\\\&& \textup{fart:}&v(t)=\left | \overrightarrow{v}(t) \right |=\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2}\\\\\\&& \textup{I daglig tale }&\textup{skelnes der sj\ae ldent mellem hastighed}\\&& \textup{og fart men i}&\textup{fysik er hastighed en vektor og fart en}\\&& \textup{skalar.} \end{array}$

Skriv et svar til: Forskellen på fart og hastighed (vektor og differentiation))

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.