Matematik

Vektorfunktioner, banekurver, areal og geogebra

31. januar 2022 af Jette1234567 - Niveau: A-niveau

Jeg er gået i stå på spørgsmål 5. Kan opgaven arelaet findes vha. geogebra, og hvordan yder kommandoen i givet fald.

På forhånd mange tak.

Vedhæftet fil: opgave 2.JPG

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. januar 2022 af peter lind

Det er jo en simpel kurve, du skal tegne, så hvad er problemet ?

Funktionen der skal Integreres er et simpelt 4 grads polynomium Hvad er problemet med det ?

Brugbart svar (0)

Svar #2
01. februar 2022 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. februar 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll}&& \overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\y(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t^2-4\\ t^3-6t \end{pmatrix}\\\\ \textbf{1.}\\&\textup{Sk\ae ring med }\\&x\textup{-aksen:}\\&& \begin{pmatrix} x(t)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t^2-4\\ 0 \end{pmatrix}\Rightarrow t^3-6t=t\cdot \left ( t^2-6 \right )=0\\& \textup{dvs}\\&& t=\left\{\begin{matrix} -\sqrt{6}\\ 0 \\ \sqrt{6} \end{matrix}\right.\\& \textup{sk\ae ringspunkter:}\\&& (-4,0)\qquad (2,0)\\\\\\& \textup{Sk\ae ring med }\\&y\textup{-aksen:}\\&& \begin{pmatrix} 0\\ y(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ t^3-6t \end{pmatrix}\Rightarrow t^2-4= ( t+2) \cdot (t-2)=0\\& \textup{dvs}\\&& t=\left\{\begin{matrix} -2\\ 2 \end{matrix}\right.\\& \textup{sk\ae ringspunkter:}\\&& (0,-4)\qquad (0,4) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
01. februar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{2.}\\&\textup{Dobbeltpunkt:}\\&&P=(2,0)\quad \textup{for}\quad t=\left\{\begin{matrix} -\sqrt{6}\\ \sqrt{6} \end{matrix}\right. \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. februar 2022 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{3.}\\&& \overrightarrow{r}{\, }'(t)=\begin{pmatrix} x{\, }'(t)\\ y{\, }'(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2t\\3t^2-6 \end{pmatrix}\\& \textup{\textbf{Lodret} tangent:}\\&& 2t=0\Rightarrow t=0\\\\& \textup{dvs r\o ringspunkt:}\\&& \left ( 0^2-4,0^3-6\cdot 0 \right )=(-4,0)\\\\& \textup{\textbf{Lodret} tangentligning:}\\&&x=-4\\\\\\& \textup{\textbf{Vandrette} tangenter:}\\&& 3t^2-6=3\cdot \left(t+\sqrt{2}\right)\cdot\left(t-\sqrt{2}\right)=0 \Rightarrow t=\left\{\begin{matrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2} \end{matrix}\right.\\\\& \textup{dvs r\o ringspunkter:}\\&& \left ( (-\sqrt{2})^2-4,(-\sqrt{2})^3-6\cdot (-\sqrt{2}) \right )=(-2,4\sqrt{2})\\\\&& \left ( \left ( \sqrt{2} \right )^2-4,\left ( \sqrt{2} \right )^3-6\cdot \sqrt{2} \right )\; \; \; \; \; \; \; \; \; =\left ( -2,-4\sqrt{2} \right ) \\\\\\& \textup{Vandrette tangentligninger:}\\&& l_1\textup{:}\quad y=4\sqrt{2}\\\\&& l_2\textup{:}\quad y=-4\sqrt{2} \end{array}$

Svar #6
01. februar 2022 af Jette1234567

Tak for svarene; kan do stadig ikke se, hvordan jeg skal opstille det, der skal indtastes i fx wordmath, eller hvis man kan få geogebra til at udregne det.

Jeg har tegnet banekurven opg kan se, at arealet skal give omkring 10.

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. februar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{4.}\\& \textup{Tangentvinklen i }P\\& \textup{er lig med vinklen}\\& \textup{mellem deres ret-}\\& \textup{ningsvektorer:}\\&& \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 2\cdot \left ( -\sqrt{6} \right )\\ 3\cdot \left ( -\sqrt{6} \right )^2-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\sqrt{6}\\12 \end{pmatrix}\quad \left | \overrightarrow{a} \right |=\sqrt{\left ( -2\sqrt{6} \right )^2+12^2}=\sqrt{168}\\&\textup{og}\\&& \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 2\cdot \sqrt{6}\\ 3\cdot \left ( \sqrt{6} \right )^2-6 \end{pmatrix}\; \; \; =\begin{pmatrix} 2\sqrt{6}\\ 12 \end{pmatrix}\quad \; \; \, \left | \overrightarrow{b} \right |=\sqrt{\left ( 2\sqrt{6}+12^2 \right )^2}\; \; \,=\sqrt{168}\\\\&& \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} -2\sqrt{6}\\12 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\sqrt{6}\\ 12 \end{pmatrix}=-4\cdot 6+12^2=120 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
01. februar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{llll}\textbf{4.}\\& \textup{Tangentvinkel }v\textup{:}\\&& v_{spids}=\cos^{-1}\left ( \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |\cdot \left | \overrightarrow{b} \right |} \right )=\cos^{-1}\left (\frac{120}{168} \right )&=\, \, \, 44.42\degree\\\\&& v_{stump}=180\degree -44.42\degree& =135.58\degree \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #9
01. februar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll}\textbf{5.}\\& \textup{Omr\aa deareal:}\\&& A=&2\cdot \int_{0}^{-\sqrt{6}}y(t)\cdot x{\, }'(t)\, \mathrm{d}t=2\cdot \int_{0}^{-\sqrt{6}}\left ( t^3-6t \right )\cdot 2t\, \mathrm{d}t=\\\\&&& 2\cdot \int_{0}^{-\sqrt{6}}\left ( 2t^4-12t^2 \right )\mathrm{d}t=2\cdot \left [\frac{2}{5}\cdot t^5-4t^3 \right ]_{0}^{-\sqrt{6}}=\\\\&&& 2\cdot \left ( \frac{2}{5}\cdot \left (-\left ( \sqrt{6} \right ) \right )^5-4\cdot \left (-\sqrt{6} \right )^3 \right )=2\cdot \left (-\frac{2}{5}\cdot 6^{2.5} +4\cdot 6^{1.5} \right )=47.03 \end{array}$

Svar #10
01. februar 2022 af Jette1234567

1000 tak; stor hjælp ift. spørgsmål 5.

Skriv et svar til: Vektorfunktioner, banekurver, areal og geogebra

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.