Matematik

Induktion og analyse

03. marts 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude,

Jeg har følgende spørgsmål, som kan ses i vedhæftede.

Jeg ved hvordan man bruger induktion (hvis p(1) er sand, vis derefter at hvis p(m) er sand, så er p(m+1) sand.)

Desuden har jeg bestemt og differentieret tan'x og tan''x.

Min undren er at jeg ikke forstår hvad jeg bliver bedt om.

Skal jeg

1.først vise at der findes polynomier Qn(x) så $tan^{(n)}(x)=Q_{n}(tanx)$ , derefter

2. vise at disse polynomier er forbundet ved relation $Q_{n+1}(x)=Q'_{n}(1+x^2)$ , også til sidst

3. bestemme hvad $Q_{1} \: og \: Q_{2}$ er?

Dernæst er spørgsmålet:

Hvordan vil jeg påbegynde et induktionsbevis for $tan^{(n)}(x)=Q_{n}(tanx)$ når jeg ikke har en "konkrekt" højre side, som i f.eks.: $1+3+5+...+(2n-1)=n^2$ ?

Problemet for mig ligger i at jeg ikke kan opskrive $tan^{(n)}x$ på en taylorform så jeg har en konkrekt højre side...

Nogen hints?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2022-03-03 kl. 22.25.40.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. marts 2022 af peter lind

Induktion gælder også for finktioner. Det er ligeså konkret som talfølger

Du skal først vise at tan'(x) er et polynomium af x (er gjort)

dernæst vise at tan''(x) er et polynomium af tan(x) (er gjort)

Dernæst skal du vise at Q2(x) er Q1'(1+x²)

Nu skal du antage at Qn+1(x) = Qn'(x)(1+x2)

Til sidst skal du vise at dette gælder for det næste n

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. marts 2022 af Eksperimentalfysikeren

Start med at finde Q₀.

Differentier tan(x). tan'(x) kan skrives på mere end én måde. Du skal vælge en form, der kun indeholder tan(x) og ikke f.eks. sin(x) og cos(x).

Dermed har du Q₁(tan(x)).

Antag nu, at du har et Q_n-1. Differentier Q_n-1(tan(x)) og se, hvad der kommer ud af det.

Skriv et svar til: Induktion og analyse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.