Matematik

Linjens ligning, vektor, parameterfremstilling

11. juni 2022 af lærke0014 - Niveau: B-niveau

Hvordan kan man ved vha. linjens ligning og en parameterfremstilling fremstille en ret linje

Hvordan omskriver man den ene til den anden?

Hvordan kan man bevise et af disse?

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. juni 2022 af StoreNord

1) Indsæt 10 som x-værdi i linjens ligning og beregn så den tilsvarende y-værdi. Så har du eet punkt på linjen.
Indsæt så 0 som x-værdi i linjens ligning og beregn så den tilsvarende y-værdi. Så har du endnu et punkt på linjen.
Så kan du tegne den rette linje gennem begge punkter.

2) Isoler y i linjens ligning. Så får du noget, der ligner: y(x) = ax + b

3) For at bevise det skal man nok gøre det algebræisk; altså med bogstaver såsom a og b.

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. juni 2022 af ringstedLC

Parameterfremstilling:

$\begin{align*} \binom{x}{y} &= \binom{x_0}{y_0}+t\cdot \binom{r_1}{r_2}\;,\;t\in\mathbb{R}\\ \textup{Eksempel:}\\P &= \bigl(x_0,y_0\bigr)=(2,3)\\ \vec{\,r} &= \binom{r_1}{r_2}=\binom{1}{2} \\ \binom{x}{y} &= \binom{2}{3}+t\cdot \binom{1}{2} \end{align*}$

Afsæt P. Tegn vektor r med fodpunkt i P. Tegn linjen, der falder sammen med vektoren og skærer punktet.

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. juni 2022 af StoreNord

Okay.
Jeg overså lige det med parameterfremstilling, da jeg skrev #1.
Undskyld allesammen.

Svar #4
11. juni 2022 af lærke0014

#2
Parameterfremstilling:

$\begin{align*} \binom{x}{y} &= \binom{x_0}{y_0}+t\cdot \binom{r_1}{r_2}\;,\;t\in\mathbb{R}\\ \textup{Eksempel:}\\P &= \bigl(x_0,y_0\bigr)=(2,3)\\ \vec{\,r} &= \binom{r_1}{r_2}=\binom{1}{2} \\ \binom{x}{y} &= \binom{2}{3}+t\cdot \binom{1}{2} \end{align*}$

Afsæt P. Tegn vektor r med fodpunkt i P. Tegn linjen, der falder sammen med vektoren og skærer punktet.

når jeg skal omskrive fra parameterfremstilling til linjens ligning hvordan gøres det?

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. juni 2022 af ringstedLC

Linjens ligning kan være på "normalvektor-form":

$\begin{align*} a\,x+b\,y+c=0 &\Rightarrow \vec{\,n}=\binom{a}{b} \\ a\,x+b\,y+\underset{c}{\underbrace{\bigl(a(-x_0)+b\,(-y_0)\bigr)}}=0 &\Rightarrow a\bigl(x-x_0\bigr)+b\bigl(y-y_0\bigr)=0 \\ \textup{Eksempel:}\\4x+5y+7=0 &\Rightarrow \vec{\,n}=\binom{4}{5} \\ 4x+5y+\bigl(4\cdot (-x_0)+5\cdot(-y_0)\bigr)=0 &\Rightarrow 7=-4\,x_0-5\, y_0 \\ \textup{Hvis feks. }x_P=2 &\Rightarrow 7=-4\cdot 2-5\,y_P \Rightarrow y_P=-3 \\\Rightarrow P &=(2,-3) \end{align*}$

Afsæt P. Tegn vektor n med fodpunkt i P. Tegn linjen, der står vinkelret på vektoren og skærer punktet.

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. juni 2022 af mathon

$\begin{array}{llllll} \textup{At omskrive fra}\\ \textup{parameterfrem-}\\ \textup{stilling til ligning:}\\\\ \textup{Parameterfrem-}\\ \textup{stilling:}&& \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_o\\y_o \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -b\\a \end{pmatrix}\quad t\in\mathbb{R}\\\\&& \begin{array}{ll} 1)\quad x-x_o=-t\cdot b\\ 2)\quad y-y_o=t\cdot a \end{array}\\\\&& \begin{array}{ll} 1)\cdot a\quad a \cdot \left (x-x_o \right )=-t\cdot a\cdot b\\ 2)\cdot b\quad \underline{b\cdot \left (y-y_o \right )=t\cdot a\cdot b} \end{array}\\&\textup{addition:}&\qquad\qquad\quad\! \! \! \! \! \! \! a(x-x_o)+b(y-y_o)=0\\\\\textup{hvoraf t elimineret:}&&ax+by+c=0\qquad c=-a\cdot x_o-b\cdot y_o \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. juni 2022 af ringstedLC

#4: Til "normalvektor-form":

$\begin{align*} \vec{\,r}\perp \vec{\,n}\Rightarrow \vec{\,n} &= \widehat{\vec{\,r}\,}=\binom{-r_2}{r_1} \\ -r_2\big(x-x_0\bigr)+r_1\bigl(y-y_0\bigr) &= 0 \\ -r_2\,x+r_1\,y+\bigl(-r_2(-x_0)+r_1(-y_0)\bigr) &= 0 \\ -r_2\,x+r_1\,y+c &= 0 \approx a\,x+b\,y+c= 0 \end{align*}$

Til "hældnings-form":

$\begin{align*} \vec{\,r} &= \binom{r_1}{r_2}=r_1\cdot \binom{1}{\tfrac{r_2}{r_1}} \\ y &= \frac{r_2}{r_1}\cdot \bigl(x-x_0\bigr)+y_0 \\y &= \underset{a}{\underbrace{\frac{r_2}{r_1}}}\cdot x+\underset{b}{\underbrace{y_0-\frac{r_2\cdot x_0}{r_1}}} \approx y=a\,x+b \end{align*}$

Skriv et svar til: Linjens ligning, vektor, parameterfremstilling

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.