Matematik

Finde definitionsmængde og løse uligheden

07. oktober 2022 af Thifo1507 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej!

Jeg står med en opgaven, som lyder på at jeg skal finde definitionsmængden af f(x,y)=kvadratrod(6xy-3y^2). Opgaven siger "Bestem definitionsmængden Df , dvs. den største mængde i xy-planen hvor funktionen er veldefineret. Skitser (uden Maple) Df i xy-planen."

Jeg ved at jeg skal løse uligheden 6xy-3y^2, så jeg har altså:

6xy-3y^2\geq 0

y(6x-3y)\geq 0
Dette kan så "deles" op i to ligninger, dvs. y\geq 0 og 6x-3y\geq 0,

Af disse to ligninger har jeg så fået frem til  y\geq 0 og y\leq 2x.

Disse kan jeg så tegne ind i et koordinatsystem, og derved marker område af definitionsmængden.
Men jeg ved at det kan ikke være bare det. Det må være mere, og jeg har også googlet mig frem til at man skal også løse y\leq 0 og 6x-3y\leq 0. Og det har jeg lidt svært ved at forstå. Det virker hvertfald ikke som om det sidder 100% fast. Jeg ved jo nemlig at definitionsmængden skal være større eller lig med 0. Det må jo nemlig ikke være negativ, så jeg kan godt være lidt forvirret over at hvorfor man lige pludselig skal løse ligningen, hvor det er mindre end 0. Så kan nogle af jer måske hjælpe med det og forklare mig?


Brugbart svar (0)

Svar #1
07. oktober 2022 af ringstedLC

\begin{align*} a\leq 0\wedge b\leq 0 \Rightarrow a\cdot b &\geq 0 \end{align*}

eller "-" gange "-" er "+".


Svar #2
07. oktober 2022 af Thifo1507

#1

\begin{align*} a\leq 0\wedge b\leq 0 \Rightarrow a\cdot b &\geq 0 \end{align*}

eller "-" gange "-" er "+".

Jeg ved godt at - * - = +, men hvorfor skal vi løse det? Vi siger jo at uligheden skal være større eller lig med 0, så hvorfor skal vi dog løse ulighed med hvor udtrykket er mindre end 0?


Brugbart svar (0)

Svar #3
07. oktober 2022 af ringstedLC

Hvor hele udtrykket er større end- eller lig med 0:

\begin{align*} y\cdot (6x-3y) &\geq 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 0\wedge (6x-3y)\geq 0 \\ y\leq 0\wedge (6x-3y)\leq 0 \end{matrix}\right. \end{align*}

Hvis begge faktorer er større end 0, bliver produktet større end 0.

Hvis begge er mindre end 0, bliver produktet også større end 0, da

\begin{align*} a &> b &y&> 0&6x-3y&>0 \\ \Rightarrow -a&< -b &-y&< (-1)\cdot 0=0 &-(6x-3y)&<0\end{align*}

Eksempel:

\begin{align*} \sqrt{2\cdot 3} &= \sqrt{(-2)\cdot (-3)} \\ &= \sqrt{(-1)\cdot 2\cdot (-1)\cdot 3} \\ &= \sqrt{(-1)^2\cdot 2\cdot 3} \\\sqrt{2\cdot 3} &= \sqrt{2\cdot 3} \end{align*}


Svar #4
07. oktober 2022 af Thifo1507

#3

Hvor hele udtrykket er større end- eller lig med 0:

\begin{align*} y\cdot (6x-3y) &\geq 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 0\wedge (6x-3y)\geq 0 \\ y\leq 0\wedge (6x-3y)\leq 0 \end{matrix}\right. \end{align*}

Hvis begge faktorer er større end 0, bliver produktet større end 0.

Hvis begge er mindre end 0, bliver produktet også større end 0, da

\begin{align*} a &> b &y&> 0 \\ \Rightarrow -a&< -b &-y&< (-1)\cdot 0=0\end{align*}

Eksempel:

\begin{align*} \sqrt{2\cdot 3} &= \sqrt{(-2)\cdot (-3)} \\ &= \sqrt{(-1)\cdot 2\cdot (-1)\cdot 3} \\ &= \sqrt{(-1)^2\cdot 2\cdot 3} \\\sqrt{2\cdot 3} &= \sqrt{2\cdot 3} \end{align*}

Hmm, ja det giver bedre mening. Jeg forstår godt det du skriver, men føler stadigvæk ikke liiige 100% fast, men kan også godt være jeg skal lige tag en pause, men ellers tusind tak for hjælpen:)


Brugbart svar (0)

Svar #5
07. oktober 2022 af SuneChr

Med mængdelærens symbolik har vi:
{(x , y) | x < 0  ∧ 2x ≤ y ≤ 0} ∪ {(0 , 0)} ∪ {(x , y) | x > 0  ∧ 0 ≤ y ≤ 2x}


Skriv et svar til: Finde definitionsmængde og løse uligheden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.