Matematik

Ligninger og ortogonale

15. december 2022 af Adl9 - Niveau: A-niveau

Hjælp til nedenstående opgave :)


Brugbart svar (0)

Svar #1
15. december 2022 af PeterValberg

Jeg indsætter lige dit vedhæftede billede, det gør det lidt nemmere at hjælpe

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)


Brugbart svar (1)

Svar #2
15. december 2022 af PeterValberg

a) Se video nr. 21 på denne videoliste < LINK >

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)


Brugbart svar (1)

Svar #3
15. december 2022 af PeterValberg

Hvis linje m's normalvektor er parallel med linje l's retningsvektor,
så er m og l ortogonale (vinkelrette på hinanden)

Se eventuelt video nr. 16 på denne videoliste < LINK >

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)


Brugbart svar (1)

Svar #4
15. december 2022 af mathon

\small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{a)}\\&\textup{konstant h\ae ldning}&\\&&\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\\\\\&& y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot (x-x_1)+y_1\\\\&\textup{med}\\&&\begin{matrix} x_1=0\\ y_1=3 \\ x_2=1 \\ y_2=4 \end{matrix}\\&\textup{haves:}\\&&y=\frac{4-3}{1-0}\cdot (x-0)+3\\\\&& y=1\cdot x+3\\\\\\&&m\textup{:}\quad y=x+3 \end{array}


Brugbart svar (1)

Svar #5
15. december 2022 af mathon

\small \begin{array}{llllll} \textbf{b)}\\&& m\textup{:}\quad -x+y-3=0\\&\textup{med normalvektor:}\\&& \overrightarrow{n}_m=\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\\\\&&l\textup{:}\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} k^2-1\\ k \end{pmatrix}\\&\textup{med retningsvektor:}\\&&\overrightarrow{r}_l=\begin{pmatrix} k^2-1\\k \end{pmatrix}\\&\textup{ortogonalitet kr\ae ver:}\\&& \overrightarrow{n}_m\cdot \overrightarrow{r}_l=0\\\\&&\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} k^2-1\\k \end{pmatrix}=0\\\\\\&& -(k^2-1)+k=0\\\\&& -k^2+1+k=0\\\\&& k^2-k-1=0\\\\\\&&k=\left\{\begin{matrix} \frac{1-\sqrt{1-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2}\\ \frac{1+\sqrt{1-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2} \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right. \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #6
15. december 2022 af Eksperimentalfysikeren

m går gennem punkterne a(0,3) og B(1,4). m har derfor retningsvektoren AB = (1-0,4-3) = (1,1). AB's tværvektor, (-1,1), er derfor m's normalvektor. Man kan få en ligning for m ved at benytte, at koefficienterne til x og y i ligningen er koordinater til en tværvektor, så ligningen har formen -x+y+c=0. C bestemmes ved indsættelse af det ene punkts koordinater: A indsættes: -0+3+c=0 => c=-3, så ligningen er -x+y-3=0.

Dette stemmer overens med resultatet i #4.

Retningsvektoren for l er (k2-1,k). Hvis de to linier skal være ortogonale, skal deres retningsvektorer også være ortogonale, så deres skalarprodukt skal være 0: (1,1).(k2-1,k) = 0. Regn skalarproduktet ud og find k.


Brugbart svar (0)

Svar #7
16. december 2022 af mathon

korrektion af #5:
                         
\small \small \begin{array}{llllll} \textbf{b)}\\&& m\textup{:}\quad -x+y-3=0\\&\textup{med normalvektor:}\\&& \overrightarrow{n}_m=\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\\\\&&l\textup{:}\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} k^2-1\\ k \end{pmatrix}\\&\textup{med retningsvektor:}\\&&\overrightarrow{r}_l=\begin{pmatrix} k^2-1\\k \end{pmatrix}\\&\textup{ortogonalitet kr\ae ver:}\\&\textup{determinanten for}& \overrightarrow{n}_m\textup{ og } \overrightarrow{r}_l=0\\\\&&\begin{vmatrix} -1 &k^2-1 \\ 1&k \end{vmatrix}=0\\\\&& (-1\cdot k)-1\left ( k^2-1 \right )=0\\\\&& -k-k^2+1=0\\\\&& -k^2-k+1=0\\\\&& k=\left\{\begin{matrix} \frac{-(-1)-\sqrt{(-1)^2-4\cdot (-1)\cdot 1}}{2\cdot \left ( -1 \right )}\\ \frac{-(-1)+\sqrt{(-1)^2-4\cdot (-1)\cdot 1}}{2\cdot \left ( -1 \right )} \end{matrix}\right.=\begin{matrix} \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\ \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix} \end{array}


Skriv et svar til: Ligninger og ortogonale

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.