Matematik

Trigonometriske funktioner - monotoniforhold, Vejen til MatematikA2, Opgave 170, Side 166, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

20. december 2022 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgacve 170

En funktion er givet ved:

f ( x ) = cos( x)  +  sin( x )       x ∈ [ 0, 2π ]

a) Undersøg monotoniforholdene ved hjælp af f ' (x )

Mit forsøg

f ' (x ) = (cos( x)  +  sin( x ) )' = cos ( x ) - sin ( x )

Skal bestemme f ' (x ) = 0 

cos ( x ) - sin ( x ) = 0

Mit spørgsmål er hvordan bestemmer man cos ( x ) - sin ( x ) = 0 ?

Bogens facit side 394 er : f er voksende i [ 0, π / 4)], f er aftagende i [π /4 , 5π / 4 ] og 

f er voksende i [ 5π / 2π ].

Mit spørgsmål er hvordan bestemmer man monotoniforholdene ?

b )  Bestem maximumsteder og minimumsteder samt maksimum- og minimum værdier

På forhånd tak


Brugbart svar (0)

Svar #1
20. december 2022 af peter lind

cos(x)-sin(x) = 0 <=> sin(x) = cos(x) <=> tan(x) = 1 for cos(x) ≠ 0

f(x) har maximum eller minimum for f'(x) = 0


Svar #2
20. december 2022 af ca10

Til peter lind

jeg forstår ikke dit svar.

Hvordan bestemmer man cos ( x ) - sin ( x ) = 0 ?

Kan du ikke uddybe dit svar, hvordan bestemmer man monotoniforholdene og  maximumsteder og minimumsteder samt maksimum- og minimum værdier ?

På forhånd tak


Brugbart svar (0)

Svar #3
20. december 2022 af peter lind

Hvad forstår du ikke? Det står jo i den første linje jeg har skrevet.

Tilsvarende om mmimum og minimumsteder


Brugbart svar (0)

Svar #4
20. december 2022 af mathon

\small \begin{array}{llllll}&& f(x)=\cos(x)+\sin(x) \qquad x\in\left [ 0;2\pi \right ]\\\\&& f{\, }'(x)=-\sin(x)+\cos(x)\\ \textup{Ekstrema}\\ \textup{kr\ae ver:}\\&&f{\, }'(x)=\cos(x)-\sin(x)=0\\\\&&\sin(x)=\cos(x)\\\\&& \frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x)=1\qquad x\notin\left \{ \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} \right \}\\\\&& x=\left\{\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ \frac{5\pi}{4} \end{matrix}\right. \end{array}


Brugbart svar (1)

Svar #5
20. december 2022 af mathon

               \small x\textup{-variation:}                                 0___________\small \tfrac{\pi}{4}___________\small \tfrac{5\pi}{4}___________\small 2\pi
               \small \textup{Fortegnsvariation for }f{\, }'(x)\textup{:}                    +           0          -            0          +
               \small \textup{Monotoni for }f(x)\textup{:}                            \small \textup{voksende}             \small \textup{aftagende}              \small \textup{voksende}
               \small \textup{Ekstrema for }f(x)\textup{:}                                         \small \textup{minimum}            \small \textup{maksimum}
               


Svar #6
20. december 2022 af ca10

Tak for svaret

Det ser jeg nærmere på.


Brugbart svar (1)

Svar #7
20. december 2022 af ringstedLC

#2:

#1 kan måske forståes ved:

Vedhæftet fil:_0.png

Brugbart svar (1)

Svar #8
20. december 2022 af ringstedLC

a) 

\begin{align*} f'(x)=0 &= \cos(x)-\sin(x)\;,\;x\in \left [\, 0,2\pi \right ] \\ \sin(x) &= \cos(x) \\ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} &= \frac{\cos(x)}{\cos(x)}\;,\;\cos(x)\neq 0 \\ \tan(x) &= 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1=...\\x_2=... \end{matrix}\right. \end{align*}


Brugbart svar (1)

Svar #9
20. december 2022 af ringstedLC

eller ved:

Vedhæftet fil:_1.png

Brugbart svar (1)

Svar #10
20. december 2022 af ringstedLC

a)

\begin{align*} \sin^2(x)+\cos^2(x) &= 1^2\quad(\textup{Grundrelationen}) \\ 2\sin^2(x) &= 1\;,\;\sin(x)=\cos(x) \\ \sin(x) &= \pm\,(...)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1=...\\x_2=... \end{matrix}\right. \end{align*}


Brugbart svar (1)

Svar #11
20. december 2022 af ringstedLC

b)

\begin{align*} f_{maks}(x) &= \cos(x_{maks})+\sin(x_{maks}) \\ &= 2\sin(x_{maks}) \quad,\;\cos(x)=\sin(x) \\ f_{min}(x) &= 2\sin(x_{min}) \\\\\Rightarrow \textup{Ekstrema} &= \left\{\begin{matrix} \bigl( x_{maks}\,, f(x_{maks}) \bigr) \\ \bigl(x_{min}\,, f(x_{min})\bigr) \end{matrix}\right. \end{align*}


Brugbart svar (1)

Svar #12
20. december 2022 af mathon

Tastekorrektion:
             \small x\textup{-variation:}                                 0___________\small \tfrac{\pi}{4}___________\small \tfrac{5\pi}{4}___________\small 2\pi
               \small \textup{Fortegnsvariation for }f{\, }'(x)\textup{:}                  +           0          -            0          +
               \small \textup{Monotoni for }f(x)\textup{:}                            \small \textup{voksende}             \small \textup{aftagende}              \small \textup{voksende}
               \small \textup{Ekstrema for }f(x)\textup{:}                                     \small \textup{maksimum}            \small \textup{minimum}


Svar #13
21. december 2022 af ca10

Tak for svaret

Det ser jeg nærmere på.

Det kan godt være, at det bliver nødvendigt at jeg stiller spørgsmål til svaret.

På forhånd tak


Skriv et svar til: Trigonometriske funktioner - monotoniforhold, Vejen til MatematikA2, Opgave 170, Side 166, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.