Matematik

Integral og areal, Vejen til Matematik A2, Opgave 279, Side 213, (Knud Erik Nielsen)

10. maj 2023 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 279

Der er givet to funktioner:

f ( x ) = - x² + 6x

g ( x ) = - x + 6

De to funktioners grafer afgrænser et areal.

a) Bestem dette areal

Mit forsøg

b b b

A ( M ) = ∫ f ( x ) dx - ∫ g ( x ) dx = ∫ f ( x ) - g ( x ) dx

a a a

f ( x ) - g ( x ) = - x² + 6 •x - (- x + 6) = - x² + 7• x - 6

Jeg bestemmer de to funktioners skæringspunkter

d = b² - 4 • a • c = 7² - 4 • (- 1) • ( -6 ) = 25

- b - √( d ) - 7 - √( 25 ) -7 - 5 -12

s₁ = ----------------- = ------------------- = ------------- = ---------- = 6

2 • a 2 • ( - 1 ) -2 -2

- b + √( d ) -7 + 5 -2

s₂= ------------------ = ------------------ = ---------- = 1

2 • a 2 • ( - 1 ) -2

Så a = 1 og b = 6

6 6

A ( M ) = ∫ - x² + 7 x - 6 dx = [ (- 1/3) • x ³ + 7 • ( 1 / 2 ) • x ² - 6x ] =

1 1

(- 1/3) • 6 ³ + 7 • ( 1/ 2) • 6 ² - 6 • 6 - (( - 1 / 3 ) • 1³ + 7 • ( 1 / 2 ) • 1² - 6 • 1 )) = - 48

I facitlisten er arealet bestemt til 20,8

Jeg kan godt se at mit resultat er forkert da et areal ikke kan være negativt, men jeg kan ikke finde fejlen selvom jeg har gået mine udregninger igennem flere gange, hvad gør jeg forkert ?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
10. maj 2023 af peter lind

Du har en regnefejl til sidst. Der er 1/3 fra det første led når du trækker fra.

Der skal sættes numerisk tegn omkring f(x)-g(x)

Svar #2
10. maj 2023 af ca10

Tak for svaret

Svar # 1

Du har en regnefejl til sidst. Der er 1/3 fra det første led når du trækker fra.

Jeg er ikke helt sikker på at jeg forstår hvad du mener.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #3
10. maj 2023 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll}\#\textbf{2}\\ &\int_{1}^{6}\left ( f(x) \right )-\left ( g(x) \right )\;\mathrm{d}x=\int_{1}^{6}\left ( -x^2+7x-6 \right )=\left [-\frac{1}{3}x^3+\frac{7}{2}x^2-6x \right ]_1^6=\\\\& -\frac{1}{3}\cdot 6^3+\frac{7}{2}\cdot 6^2-6\cdot 6-\left ( -\frac{1}{3}\cdot 1^3+\frac{7}{2}\cdot 1^2-6\cdot 1 \right )=\\\\& -72+126-36-\left ( -\frac{17}{6}\right)\\\\& 18+\frac{17}{6}=18+2\frac{5}{6}\approx 20.8 \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
10. maj 2023 af ringstedLC

eller på fælles brøkstreg:

$\begin{align*}-\frac{1}{3}\cdot 6^3+\frac{7}{2}\cdot 6^2-6^2- \left (-\frac{1}{3}\cdot 1^3+\frac{7}{2}\cdot 1^2-6\cdot 1 \right ) &= \\ \frac{-2\cdot 6^3+3\cdot7\cdot 6^2-6\cdot 6^2+2\cdot 1-3\cdot 7+6\cdot6}{3 \cdot 2} &= \\ \frac{-2\cdot6^3+(21-6+1)\cdot6^2+2-21}{3\cdot 2} &= \frac{125}{6}\approx 20.8 \end{align*}$

Svar #5
10. maj 2023 af ca10

Tak for svarene

#3 og # 3

Jeg ser nærmere på dem.

Svar #6
11. maj 2023 af ca10

Når jeg indtaster nedenstående i TI - 89 Titanium på følgende måde bliver resulatatet::

125

(- 1/3) • 6^^{( 3}⁾+ 7 • ( 1/ 2) • 6^⁽^{2 )} - 6 • 6 - (( - 1 / 3 ) • 1^⁽^{3 )} + 7 • ( 1 / 2 ) • 1^^( 2) - 6 • 1 ) = --------- ≈ 20,8

Parentesen omkring eksponenten kan godt underværes, resultatet bliver det samme.

Eller indtaster jeg det ovendstående i TI 84 plus bliver resulatet det samme.

(- 1/3) • 6^ ³+ 7 • ( 1/ 2) • 6^² - 6 • 6 - (( - 1 / 3 ) • 1^³+ 7 • ( 1 / 2 ) • 1^ ² - 6 • 1 ) = 20,8

Så jeg har muligvis foretaget én indtastningsfejl i første omgang siden jeg fik et forkert resultat.

Så umiddelbart er det regnet rigtigt ud denne gang.

Tak for svarene

Skriv et svar til: Integral og areal, Vejen til Matematik A2, Opgave 279, Side 213, (Knud Erik Nielsen)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.