Matematik

Konvergens af følger

10. maj 2023 af Owaltz - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg sidder lidt fast i følgende opgave:

Vis at følgen {S_n}_n∈Ngivet ved S_n=Σⁿ_k=1 1/(√k*n) er konvergent og bestem grænseværdien.

Jeg sidder fast, og kan ikke få det til at gå op. Jeg har forsøgt mig med integraltesten, men uden held.

Jeg har også vedhæftet et billede af opgaven.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2023-05-10 kl. 17.37.40.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. maj 2023 af peter lind

Du skriver 1/(√k*n) = 1/√k*1/√n. 1/√k kan du sætte ud foran en parantes, så det led betyder ikke noget for konvergensen. Summen af 1/√n er ikke konvergent. Der er noget galt. Læg den originale opgave ind som billedfil.

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. maj 2023 af Eksperimentalfysikeren

Det er ikke til at sige, hvordan 1/(√k*n) skal fortolkes. Er det 1/(√(k*n)) eller 1/((√k)*n) ?

√k kan ikke sættes udenfor summationen, da det er k, der summeres over.

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. maj 2023 af M2023

#0. Hvis vi forudsætter, at nævneren er kvadratroden af k gange kvadratroden af n, så får man:

$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k\cdot n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k/n}}\cdot \frac{1}{n}=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\;dx=2$

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. maj 2023 af M2023

#3 Der gælder for en konvergent række

$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} f(k/n)\cdot \frac{1}{n}=\int_{0}^{1}f(x)\;dx$

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. maj 2023 af M2023

#3 Tilsvarende...

$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}\cdot n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \left ( \frac{1}{\sqrt{k/n}}\cdot \frac{1}{n} \right )\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}=$

...dette er produktet af to konvergente følger, så der gælder...

$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \left ( \frac{1}{\sqrt{k/n}}\cdot \frac{1}{n} \right )\cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \left ( \frac{1}{\sqrt{n}} \right ) =0$

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. maj 2023 af M2023

Det skulle måske siges, at

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k\cdot n}}$

er en endelig række med hensyn til k, mens den er en følge med hensyn til n.

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. maj 2023 af M2023

#5 Præcisering:

$\\\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}\cdot n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k/n}}\cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}=$

$\lim_{n\rightarrow \infty} \left ( \frac{1}{\sqrt{n}} \right ) \cdot \left ( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k/n}}\cdot \frac{1}{n} \right )=$

$\lim_{n\rightarrow \infty} \left ( \frac{1}{\sqrt{n}} \right ) \cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \left ( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k/n}}\cdot \frac{1}{n} \right ) =0$

...idet

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\;og\;b_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k/n}}\cdot \frac{1}{n}$

er konvergente følger.

Skriv et svar til: Konvergens af følger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.