Matematik

Integral og to arealer, Vejen til Matematik A2, Opgave 281, Side 213 (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

11. maj 2023 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 281

Der givet to funktioner:

f ( x ) = 8,4 • e^{- 0,17 • x}

g ( x ) = x²

De to funktioners grafer afgrænser to arealer.

a) Bestem disse arealer

Mit forsøg:

b b b

A ( M ) = ∫ (( f ) - g ( x )) dx = ∫ ((8,4 • e ^{- 0,17 • x )} - x² )) dx = [ 8,4 • e ^{- 0,17 • x} - ( 1 / 3 ) • x³ ]

a a a

Når man indtaster de to funktioner i TI -89 Titanium kan man se at de to funktioners grafer skærer hinanden hvor der er én negativ x - værdi og én x -værdi, hvor x = 0 og positiv y - værdi og også én x -værdi, hvor x = 0 og én positiv x - værdi og én positiv y -værdi.

Så der må være tre skæringspunkter

a = 0

b = ?

c = ?

Skæringspunkter så man kan bestemme de to arealer.

Mit spørgsmål er, hvordan bestemmer man x - værdierne for de to funktioners fælles skæringspunkter ?

På forhånd tak.

Brugbart svar (1)

Svar #1
11. maj 2023 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll}& \textup{Define }f(x)=8.4\cdot e^{-0.17x}\\\\& \textup{Define }g(x)=x^2\\\\& \textup{solve}\left ( f(x)=g(x),x \right )\\\\& x=\left\{\begin{matrix} -25.6539\\ -4.11027 \\ 2.36956 \end{matrix}\right. \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. maj 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textup{Areal}_1=&\int_{-25.6539}^{-4.11027}\left ( g(x)-f(x) \right )\mathrm{d}x=1\,832.71\\\\\\ \textup{Areal}_2=&\int_{-4.11027}^{2.36956}\left ( f(x) -g(x)\right )\mathrm{d}x=38.7685 \end{array}$

Svar #3
11. maj 2023 af ca10

Svar #1 Tak for svaret det prøver jeg.

-25,6539

[ 8,4 • e - ^{0,17 • x} - ( 1 / 3 ) • x³ ]

-4,11027

8,4e^{( -0,17 • ( -25,6539)} - ( 1/ 3) •( -25,6539 )³ - (8,4^{e( -0,17 • ( 0 ) -} ( 1/ 3) •( 0 )³ = ?

Jeg kan ikke få det til at passe.

I facitlisten er arealerne 38,77 og 1833

Mit spørgsmål er hvad gør jeg forkert ?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #4
11. maj 2023 af mathon

Arealer regnes positive, så du kan ikke få et negativt areal.

Se svar #2.

Brugbart svar (1)

Svar #5
11. maj 2023 af AMelev

I TI89: løs(f(x)=g(x),x), hvis du har defineret funktionerne på forhånd, ellers bare indsæt udtrykkene for hhv. f(x) og g(x).

Vær opmærksom på, at ved arealet til venstre ligger g over f, så arealet er $\int_{-25.6539}^{-4.11027}(g(x)-f(x))dx$
(Arealet er integralet af "største minus mindste").

Du kan overveje at bruge Geogebra evt. suppleret med Wordmat i stedet for TI89, da det er lettere at google sig til forskelliige anvendelser for de programmer. Geogebra er gratis og Wordmat er en gratis App til Word.
TI89 er efterhånden et aldrende produkt.

Brugbart svar (1)

Svar #6
11. maj 2023 af AMelev

1) Din stamfunktion til f er forkert. F(x) = 49.4118·e^-0.17x og
2) Du har byttet om på grænserne -25.65 ligger til venstre for (er mindre end) -4.11.

Udnyt dit CAS-værktøj til selve regnerierne, så det går hurtigere.
I dette link er de mest almindelige operationer i TI89 beskrevet.

Svar #7
11. maj 2023 af ca10

Tak for svarene jeg ser nærmere på dem.

Brugbart svar (1)

Svar #8
12. maj 2023 af mathon

...men du kan altid bruge
$\small A=\left | \int_{a}^{b} \left ( f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x \right )\right |\qquad a<b$

Svar #9
12. maj 2023 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det.

Svar #10
12. maj 2023 af ca10

f ( x ) = 8,4 • e^{-0,17 • x}

g ( x ) = x²

Anvender fra ( # 1)

x = -25.6539

x = -4.11027

x = 2,36956

Som er skæringspunkterne mellem de to funktioner.

-4.11027 -4,11027 -4,11027

A ( M ) = ∫ (g ( x ) - f ( x ) ) dx = ∫ (( x² - 8,4 • e^-0,17x )) dx = [ ( 1 / 3)³ - 8,4 • ( - 1 / 0,17 ) • e^-0,17x ] =

-25,6539 -25.6539 -25.6539

(1/3) • -4,11027³ - 8,4 • (- 1 / 0,17) • e⁽^{-0,17 • -4,11027)} - ( (1 / 3) • ( - 25,6539)³ - 8,4 • (1 / 3) • e^{( -0,17 • -25,6539)}) = -3786

Jeg er klar over at resultatet er forkert, men jeg kan ikke finde fejlen.

Mit spørgsmål er, hvad gør jeg forkert ?

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #11
12. maj 2023 af Anders521

#10 Der er en skrivefejl efter tredje lighedstegn: du skriver

[ ( 1 / 3)³ - 8,4 • ( - 1 / 0,17 ) • e^-0,17x ]_-25.6539 ^-4,11027 =

men det burde være

[ ( 1 / 3)x³ - 8,4 • ( - 1 / 0,17 ) • e^-0,17x ]_-25.6539 ^-4,11027 =

Om skrivefejlen fører til det forkerte resultat, har jeg ikke tjekket.

Svar #12
12. maj 2023 af ca10

Svar #11

Det er en skrivefejl, men det ændre ikke på at min udregning giver et forkert resultat. jeg har gået min udregning igennem flere gange og jeg kan finde fejlen.

Mit spørgsmål er, hvad gør jeg forkert?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #13
12. maj 2023 af AMelev

I det sidste led er du kommet til at skrive 8.4·(1/3) i stedet for 8.4·(-1/0.17).

Svar #14
13. maj 2023 af ca10

Tak for svaret jeg ser næmere på det.

Svar #15
13. maj 2023 af ca10

Tl - 89 Titanium afhænger resulatet af hvor mange parenteser der sættes.

I indtastningen af regnestykket er der anvendt komma hvor i Tl - 89 Titanium anvendes en prik.

Indsætter:

x = - 4,11027

x = -25,6539

og bestemmer det ene areal

-4.11027 -4,11027 -4,11027

A ( M ) = ∫ (g ( x ) - f ( x ) ) dx = ∫ (( x²- 8,4 • e ^-0,17x)) dx = [ ( 1 / 3)x³ - 8,4 • ( - 1 / 0,17 ) • e^-0,17x] =

-25,6539 -25.6539 -25.6539

(1/3)•(-4,11027)² - 8,4•( - 1/0,17)•e(^{-0,17 • -4,11027)} - ((1/3)•(-25,6539)³ - 8,4•(-1/(0,17))e-^{0,17 • - 25,6539)})) = 1832,71 ≈ 1832

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Indsætter:

x = 2,36956

x = - 4,11027

og bestemmer det andet areal

2,36956 2,36956 2,36965

A ( M ) = ∫ (g ( x ) - f ( x ) ) dx = ∫ (( x² - 8,4 • e ^-0,17x)) dx = [ ( 1 / 3)x³- 8,4 • ( - 1 / 0,17 ) • e^-0,17x ] =

-4,11027 -4,11027 -4,11027

(1/3)•(2,36956)³ - 8,4•( - 1/(0,17))•e^{(-0,17 • 2,36956)}- ((1/3)•(-4,11027)³ - 8,4•(-1/(0,17))e^{(-0,17 • -4,11027)}) =

- 38,7682.

Problemet er at resultatet bliver et negativt areal og da et areal ikke kan være negativt, er der en fejl i min udregning. Jeg kan ikke finde fejlen selvom jeg har gået min udregning igennem flere gange..

Mit spørgsmål er, hvad gør jeg forkert ?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #16
13. maj 2023 af AMelev

Hvis du tegner graferne i samme koordinatsystem, kan du se, at ved det lille areal ligger f-grafen over g-grafen, så f er størst. ltså skal du tage integralet af (f(x)-g(x)) i dette tilfælde. Altid integralet af Størst - Mindst fra venste grænse til højre grænse.

NB! 1832.71 skal forhøjes til 1833

OG du må gerne bruge decimalpunktum i stedet for -komma i dine besvarelser.

Svar #17
13. maj 2023 af ca10

Tak for svaret

Jeg kan godt se fejlen nu.

(1/3) • (-4,11027)² - 8,4 • ( - 1/0,17)• e^{(-0,17 • -4,11027)} - ((1/3)•(-25,6539)3 - 8,4•(-1/(0,17))e^{-(0,17 • - 25,6539)})) = 1832,71 ≈ 1833

---------------------------------------

2,36956 2,36956 2,36965

A ( M ) = ∫ (f ( x ) - g ( x ) ) dx = ∫ (( 8,4 • e ^-0,17x- x² )) dx = [ (8,4 • ( - 1 / 0,17 ) • e^-0,17x - 1 / 3)x³- ] =

-4,11027 -4,11027 -4,11027

8,4 • (-1/0,17) • e^{(-0,17 • 2,36956)} - (1/3) • (2,36956)³ -((8,4 • (-1/0,17) • e^{( -0,17 • -4,11027)} - ( 1/ 3) • (-4,11027)) = 38,768 ≈ 38,77

Så lykkedes det.

Tak for hjælpen.

Brugbart svar (1)

Svar #18
13. maj 2023 af ringstedLC

Tip: Regn med numeriske (absolutte) værdier, når det er arealer.

Vedhæftet fil:_0.png

Svar #19
13. maj 2023 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det

Svar #20
16. maj 2023 af ca10

I Matematik HF TILVALG (Ib Axelsen, Lis Bøttcher, Hans Jørgen Schrøder), side 103.

Den numeriske værdi af et tal a skrives l a l og er defineret ved at hvis a er positiv eller 0, er l a l lig med a, og hvis a er negativ er l a l lig med det tilsvarende positive tal, altså -a.

Det betyder så at to modsatte tal -5 og 5 har samme numeriske værdi

l -5 l = 5

Anvendt numerisk værdi på opgave 281 så er den numeriske værdi af:

l g ( x ) - f ( x ) l = f ( x ) - g ( x ) således:

2,36965 2,36956 2,36956

A ( M ) = ∫ l (g ( x ) - f ( x ) ) l dx = ∫ l (( x^2 -8,4 • e ^-0,17x )) l dx = [ ( 1 / 3)x³ - 8,4 • ( - 1 / 0,17 ) • e^-0,17x ] =

-4,11027 -4,11027 -4,1102

l - 38,7682 l = 38,7682 = 38,77

2,36956 2,36956 2,36965

A ( M ) = ∫ (f ( x ) - g ( x ) ) dx = ∫ (( 8,4 • e ^-0,17x - x²)) dx = [ (8,4 • ( - 1 / 0,17 ) • e-^0,17x - 1 / 3)x³- ] =

-4,11027 -4,11027 -4,11027

8,4 • (-1/0,17) • e(^{-0,17 • 2,36956}) - (1/3) • (2,36956)³ -((8,4 • (-1/0,17) • e^{( -0,17 • -4,11027)} - ( 1/ 3) • ^(-4,11027)) = 38,768 ≈ 38,77.

Men den mest korrekte måde at beregne arealet mellem to grafer når:

f ( x ) > g (x ) for alle x i [ a, b ] og man har markeret punktmængden:

M = { p 8 x , y l a < x < b ∧ g ( x ) < y < f (x ) }

så arealet M er lige med arealet under grafen f minus arealet under grafen for g så

b b b

A ( M ) = ∫ f (x ) dx - ∫ g ( x ) dx = ∫ ( f ( x ) - g ( x ) dx

a a a

Mit spørgsmål er, når man anvender numerisk værdi, når man bestemmer arealet mellem to grafer kan det ikke give anledning til misforståelse selvom man får det rigtige resultat ?

På forhånd tak

Forrige 1 2 Næste

Der er 26 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.