opgave med differentialligninger?

her

Billede (1) vedhæftet

Dette billede er det samme billede, der er uploaded i starten af indlægget. Du behøver ikke at klikke på det, hvis du har set det nævnte billede.

Billede (2) vedhæftet

her

Billede (3) vedhæftet

#0

Er der nogen, der ved hvordan man beviser, at funktion A(t) nr. 7 i det vedhæftede billede, er en løsning til differentialligning nr. 6? 

Du kan jo afgøre om en funktion er en løsning til en differentialligning ved at gøre prøve.

Hej Anders, det har jeg prøvet, men det lykkedes mig simpelthen ikke, og jeg ved ikke om, jeg har misset noget undervejs, så derfor jeg brug for, at en anden person end mig selv prøver, at gøre prøve og ser om han/hun får det rigtige resultat og eventuelt komme med en forklaring på, hvordan man er kommet frem til resultatet.

Differentialligningen
                                         

har løsningen
                                          

Hej Mathon

Det er hvordan man beviser at funktion A(t) nr. 7 er en løsning til differentialligning nr. 6, jeg skal have hjælp til og ikke differentialligning nr. 3.

dy/dx=-K*A er differentialligningen, mens funktion nr. 4 (A_0*exp(-K*t) er løsningen til dy/dx=-K*A. Funktion nr. 7 er en løsning til differentialligning 6, men hvordan beviser jeg, at funktion 7 er den rigtige løsning til differentialligning nr. 6 (se det 3 vedhæftede billede #svar 3). Det er jo ved at gøre prøve, men jeg får ikke det rigtige resultat. 

Se billederne igen, så forstår du hvad jeg mener.

#8 Løsningen til differentialligningen (6), der er A'(t) = F·K_a·A(t)^MAVE - K·A(t) er givet ved funktionen (7) som er A(t) = (K_a·F·A₀/(K_a - K)) · (exp(-Kt) - exp(-K_a·t)). Funktionen A differentieres og dens udtryk indsættes på venstresiden af differentialligningen. På højresiden fremgår funktionerne A(t)^MAVE og A(t), der tilsyneladende ikke er ens. Funktionen A(t)^MAVE er en løsning til differentialligningen (5) A'(t)^MAVE = -K_a·A(t)^MAVE, hvis funktionsudtryk til løsningen er givet i #6, dvs. A(t)^MAVE = A₀·exp(-K_a·t). Altså har du 

A'(t) = F·K_a·A(t)^MAVE - K·A(t) ⇒

Venstreside: (K_a·F·A₀/(K_a- K)) · (K_a·exp(-K_a·t) - K·exp(-K·t))   

Højreside: F·K_a·(A₀·exp(-K_a·t)) - K·(K_a·F·A₀/(K_a- K) (exp(-Kt) - exp(-K_a·t))

= K_a·F·A₀·exp(-K_a·t)·(K_a- K)/(K_a- K) - K·(Ka·F·A₀/(K_a- K) (exp(-K·t) - exp(-K_a·t))                                               = (K_a·F·A₀/(K_a- K))·(K_a·exp(-K_a·t) - K·exp(-K_a·t)) - (K_a·F·A₀/(K_a- K))·(K·exp(-K·t) - K·exp(-K_a·t))                    = (K_a·F·A₀/(K_a- K))·(K_a·exp(-K_a·t) - K·exp(-K_a·t) - ( K·exp(-K·t) - K·exp(-K_a·t)))                                                = (K_a·F·A₀/(Ka- K))·(K_a·exp(-K_a·t) - K·exp(-K_a·t) -  K·exp(-K·t) + K·exp(-K_a·t))                              = (K_a·F·A₀/(K_a- K))·(K_a·exp(-K_a·t) - K·exp(-K·t) )

Heraf ses at udtrykket på venstresiden er det samme som udtrykket på højresiden.

Tusind tak!